Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23941 / 27436
↖ ↑ ↗
← N 28.091366°
W 48.488159°		 ← 538.89 m → N 28.091366°
W 48.482666°		 →
↑
538.86 m
↓
↑
538.86 m
↓
N 28.086520°
W 48.488159°		 ← 538.92 m →
290 393 m²		 N 28.086520°
W 48.482666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365318298339844 y=0.418647766113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365318298339844 × 216)
    floor (0.365318298339844 × 65536)
    floor (23941.5)     		tx = 23941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418647766113281 × 216)
    floor (0.418647766113281 × 65536)
    floor (27436.5)     		ty = 27436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23941 / 27436 ti = "16/23941/27436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23941/27436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23941 ÷ 216
    23941 ÷ 65536     		x = 0.365310668945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27436 ÷ 216
    27436 ÷ 65536     		y = 0.41864013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.365310668945312 × 2 - 1) × π
    -0.269378662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.84627803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41864013671875 × 2 - 1) × π
    0.1627197265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.511199097548279
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84627803} λ = -0.84627803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.511199097548279))-π/2
    2×atan(1.66728923922051)-π/2
    2×1.03054157988814-π/2
    2.06108315977627-1.57079632675     		φ = 0.49028683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84627803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.488159°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49028683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.091366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23941 KachelY 27436 -0.84627803 0.49028683 -48.488159 28.091366
    Oben rechts KachelX + 1 23942 KachelY 27436 -0.84618215 0.49028683 -48.482666 28.091366
    Unten links KachelX 23941 KachelY + 1 27437 -0.84627803 0.49020225 -48.488159 28.086520
    Unten rechts KachelX + 1 23942 KachelY + 1 27437 -0.84618215 0.49020225 -48.482666 28.086520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49028683-0.49020225) × R
    8.45800000000008e-05 × 6371000     		dl = 538.859180000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49028683-0.49020225) × R
    8.45800000000008e-05 × 6371000     		dr = 538.859180000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84627803--0.84618215) × cos(0.49028683) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.882197832693067 × 6371000     		do = 538.891851753623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84627803--0.84618215) × cos(0.49020225) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.882237656478947 × 6371000     		du = 538.916178172167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49028683)-sin(0.49020225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882197832693067-0.882237656478947)×R²
    abs(-0.84618215--0.84627803)×3.98237858802997e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.98237858802997e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.98237858802997e-05×40589641000000     		ar = 290393.375774757m²