Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23941 / 27429
↖ ↑ ↗
← N 28.125283°
W 48.488159°		 ← 538.72 m → N 28.125283°
W 48.482666°		 →
↑
538.73 m
↓
↑
538.73 m
↓
N 28.120439°
W 48.488159°		 ← 538.75 m →
290 233 m²		 N 28.120439°
W 48.482666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365318298339844 y=0.418540954589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365318298339844 × 216)
    floor (0.365318298339844 × 65536)
    floor (23941.5)     		tx = 23941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418540954589844 × 216)
    floor (0.418540954589844 × 65536)
    floor (27429.5)     		ty = 27429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23941 / 27429 ti = "16/23941/27429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23941/27429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23941 ÷ 216
    23941 ÷ 65536     		x = 0.365310668945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27429 ÷ 216
    27429 ÷ 65536     		y = 0.418533325195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.365310668945312 × 2 - 1) × π
    -0.269378662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.84627803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418533325195312 × 2 - 1) × π
    0.162933349609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.51187021414296
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84627803} λ = -0.84627803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.51187021414296))-π/2
    2×atan(1.66840856025253)-π/2
    2×1.03083756190324-π/2
    2.06167512380647-1.57079632675     		φ = 0.49087880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84627803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.488159°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49087880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.125283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23941 KachelY 27429 -0.84627803 0.49087880 -48.488159 28.125283
    Oben rechts KachelX + 1 23942 KachelY 27429 -0.84618215 0.49087880 -48.482666 28.125283
    Unten links KachelX 23941 KachelY + 1 27430 -0.84627803 0.49079424 -48.488159 28.120439
    Unten rechts KachelX + 1 23942 KachelY + 1 27430 -0.84618215 0.49079424 -48.482666 28.120439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49087880-0.49079424) × R
    8.45600000000113e-05 × 6371000     		dl = 538.731760000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49087880-0.49079424) × R
    8.45600000000113e-05 × 6371000     		dr = 538.731760000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84627803--0.84618215) × cos(0.49087880) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.881918931924679 × 6371000     		do = 538.72148480648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84627803--0.84618215) × cos(0.49079424) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.881958790448652 × 6371000     		du = 538.74583244484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49087880)-sin(0.49079424))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881918931924679-0.881958790448652)×R²
    abs(-0.84618215--0.84627803)×3.98585239734794e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.98585239734794e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.98585239734794e-05×40589641000000     		ar = 290232.932255581m²