Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23932 / 30396
↖ ↑ ↗
← N 12.918907°
W 48.537598°		 ← 595.33 m → N 12.918907°
W 48.532105°		 →
↑
595.37 m
↓
↑
595.37 m
↓
N 12.913553°
W 48.537598°		 ← 595.34 m →
354 444 m²		 N 12.913553°
W 48.532105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365180969238281 y=0.463813781738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365180969238281 × 216)
    floor (0.365180969238281 × 65536)
    floor (23932.5)     		tx = 23932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463813781738281 × 216)
    floor (0.463813781738281 × 65536)
    floor (30396.5)     		ty = 30396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23932 / 30396 ti = "16/23932/30396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23932/30396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23932 ÷ 216
    23932 ÷ 65536     		x = 0.36517333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30396 ÷ 216
    30396 ÷ 65536     		y = 0.46380615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36517333984375 × 2 - 1) × π
    -0.2696533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.84714089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46380615234375 × 2 - 1) × π
    0.0723876953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.227412651797546
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84714089} λ = -0.84714089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.227412651797546))-π/2
    2×atan(1.25534778259276)-π/2
    2×0.898136891132775-π/2
    1.79627378226555-1.57079632675     		φ = 0.22547746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84714089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.537598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22547746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.918907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23932 KachelY 30396 -0.84714089 0.22547746 -48.537598 12.918907
    Oben rechts KachelX + 1 23933 KachelY 30396 -0.84704502 0.22547746 -48.532105 12.918907
    Unten links KachelX 23932 KachelY + 1 30397 -0.84714089 0.22538401 -48.537598 12.913553
    Unten rechts KachelX + 1 23933 KachelY + 1 30397 -0.84704502 0.22538401 -48.532105 12.913553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22547746-0.22538401) × R
    9.34499999999949e-05 × 6371000     		dl = 595.369949999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22547746-0.22538401) × R
    9.34499999999949e-05 × 6371000     		dr = 595.369949999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84714089--0.84704502) × cos(0.22547746) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.974687471598373 × 6371000     		do = 595.327187224495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84714089--0.84704502) × cos(0.22538401) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.974708360123564 × 6371000     		du = 595.339945680216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22547746)-sin(0.22538401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974687471598373-0.974708360123564)×R²
    abs(-0.84704502--0.84714089)×2.08885251917756e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.08885251917756e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.08885251917756e-05×40589641000000     		ar = 354443.71594997m²