Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23932 / 27564
↖ ↑ ↗
← N 27.469287°
W 48.537598°		 ← 541.93 m → N 27.469287°
W 48.532105°		 →
↑
541.98 m
↓
↑
541.98 m
↓
N 27.464413°
W 48.537598°		 ← 541.95 m →
293 720 m²		 N 27.464413°
W 48.532105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365180969238281 y=0.420600891113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365180969238281 × 216)
    floor (0.365180969238281 × 65536)
    floor (23932.5)     		tx = 23932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420600891113281 × 216)
    floor (0.420600891113281 × 65536)
    floor (27564.5)     		ty = 27564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23932 / 27564 ti = "16/23932/27564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23932/27564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23932 ÷ 216
    23932 ÷ 65536     		x = 0.36517333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27564 ÷ 216
    27564 ÷ 65536     		y = 0.42059326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36517333984375 × 2 - 1) × π
    -0.2696533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.84714089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42059326171875 × 2 - 1) × π
    0.1588134765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.498927251245544
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84714089} λ = -0.84714089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.498927251245544))-π/2
    2×atan(1.64695355533729)-π/2
    2×1.0251129181875-π/2
    2.050225836375-1.57079632675     		φ = 0.47942951
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84714089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.537598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47942951 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.469287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23932 KachelY 27564 -0.84714089 0.47942951 -48.537598 27.469287
    Oben rechts KachelX + 1 23933 KachelY 27564 -0.84704502 0.47942951 -48.532105 27.469287
    Unten links KachelX 23932 KachelY + 1 27565 -0.84714089 0.47934444 -48.537598 27.464413
    Unten rechts KachelX + 1 23933 KachelY + 1 27565 -0.84704502 0.47934444 -48.532105 27.464413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47942951-0.47934444) × R
    8.50700000000204e-05 × 6371000     		dl = 541.98097000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47942951-0.47934444) × R
    8.50700000000204e-05 × 6371000     		dr = 541.98097000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84714089--0.84704502) × cos(0.47942951) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.887258218826684 × 6371000     		do = 541.92646889131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84714089--0.84704502) × cos(0.47934444) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.887297456116939 × 6371000     		du = 541.950434548326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47942951)-sin(0.47934444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887258218826684-0.887297456116939)×R²
    abs(-0.84704502--0.84714089)×3.9237290255234e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.9237290255234e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.9237290255234e-05×40589641000000     		ar = 293720.327920572m²