Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23931 / 27395
↖ ↑ ↗
← N 28.289870°
W 48.543091°		 ← 537.84 m → N 28.289870°
W 48.537598°		 →
↑
537.84 m
↓
↑
537.84 m
↓
N 28.285033°
W 48.543091°		 ← 537.86 m →
289 276 m²		 N 28.285033°
W 48.537598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27395 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365165710449219 y=0.418022155761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365165710449219 × 216)
    floor (0.365165710449219 × 65536)
    floor (23931.5)     		tx = 23931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418022155761719 × 216)
    floor (0.418022155761719 × 65536)
    floor (27395.5)     		ty = 27395
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23931 / 27395 ti = "16/23931/27395"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23931/27395.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23931 ÷ 216
    23931 ÷ 65536     		x = 0.365158081054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27395 ÷ 216
    27395 ÷ 65536     		y = 0.418014526367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.365158081054688 × 2 - 1) × π
    -0.269683837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.84723676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418014526367188 × 2 - 1) × π
    0.163970947265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.515129923317123
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84723676} λ = -0.84723676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.515129923317123))-π/2
    2×atan(1.67385596058953)-π/2
    2×1.0322738557355-π/2
    2.06454771147099-1.57079632675     		φ = 0.49375138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84723676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.543091°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49375138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.289870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23931 KachelY 27395 -0.84723676 0.49375138 -48.543091 28.289870
    Oben rechts KachelX + 1 23932 KachelY 27395 -0.84714089 0.49375138 -48.537598 28.289870
    Unten links KachelX 23931 KachelY + 1 27396 -0.84723676 0.49366696 -48.543091 28.285033
    Unten rechts KachelX + 1 23932 KachelY + 1 27396 -0.84714089 0.49366696 -48.537598 28.285033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49375138-0.49366696) × R
    8.44200000000295e-05 × 6371000     		dl = 537.839820000188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49375138-0.49366696) × R
    8.44200000000295e-05 × 6371000     		dr = 537.839820000188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84723676--0.84714089) × cos(0.49375138) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.880561157744136 × 6371000     		do = 537.835985887147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84723676--0.84714089) × cos(0.49366696) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.880601163990906 × 6371000     		du = 537.860421213398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49375138)-sin(0.49366696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880561157744136-0.880601163990906)×R²
    abs(-0.84714089--0.84723676)×4.00062467704743e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.00062467704743e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.00062467704743e-05×40589641000000     		ar = 289276.181156795m²