Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23930 / 27530
↖ ↑ ↗
← N 27.634874°
W 48.548584°		 ← 541.17 m → N 27.634874°
W 48.543091°		 →
↑
541.15 m
↓
↑
541.15 m
↓
N 27.630007°
W 48.548584°		 ← 541.19 m →
292 860 m²		 N 27.630007°
W 48.543091°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365150451660156 y=0.420082092285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365150451660156 × 216)
    floor (0.365150451660156 × 65536)
    floor (23930.5)     		tx = 23930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420082092285156 × 216)
    floor (0.420082092285156 × 65536)
    floor (27530.5)     		ty = 27530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23930 / 27530 ti = "16/23930/27530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23930/27530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23930 ÷ 216
    23930 ÷ 65536     		x = 0.365142822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27530 ÷ 216
    27530 ÷ 65536     		y = 0.420074462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.365142822265625 × 2 - 1) × π
    -0.26971435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.84733264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420074462890625 × 2 - 1) × π
    0.15985107421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.502186960419708
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84733264} λ = -0.84733264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.502186960419708))-π/2
    2×atan(1.65233090448671)-π/2
    2×1.0265579314071-π/2
    2.0531158628142-1.57079632675     		φ = 0.48231954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84733264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.548584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48231954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.634874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23930 KachelY 27530 -0.84733264 0.48231954 -48.548584 27.634874
    Oben rechts KachelX + 1 23931 KachelY 27530 -0.84723676 0.48231954 -48.543091 27.634874
    Unten links KachelX 23930 KachelY + 1 27531 -0.84733264 0.48223460 -48.548584 27.630007
    Unten rechts KachelX + 1 23931 KachelY + 1 27531 -0.84723676 0.48223460 -48.543091 27.630007
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48231954-0.48223460) × R
    8.49399999999778e-05 × 6371000     		dl = 541.152739999859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48231954-0.48223460) × R
    8.49399999999778e-05 × 6371000     		dr = 541.152739999859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84733264--0.84723676) × cos(0.48231954) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.88592142233777 × 6371000     		do = 541.166411998377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84733264--0.84723676) × cos(0.48223460) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.885960817316618 × 6371000     		du = 541.190476479511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48231954)-sin(0.48223460))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88592142233777-0.885960817316618)×R²
    abs(-0.84723676--0.84733264)×3.9394978847529e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.9394978847529e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.9394978847529e-05×40589641000000     		ar = 292860.198104799m²