Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2393 / 1825
↖ ↑ ↗
← N 19.228177°
E 30.322266°		 ← 9 227.80 m → N 19.228177°
E 30.410156°		 →
↑
9 230.11 m
↓
↑
9 230.11 m
↓
N 19.145168°
E 30.322266°		 ← 9 232.45 m →
85 195 095 m²		 N 19.145168°
E 30.410156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5843505859375 y=0.4456787109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5843505859375 × 212)
    floor (0.5843505859375 × 4096)
    floor (2393.5)     		tx = 2393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4456787109375 × 212)
    floor (0.4456787109375 × 4096)
    floor (1825.5)     		ty = 1825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2393 / 1825 ti = "12/2393/1825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2393/1825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2393 ÷ 212
    2393 ÷ 4096     		x = 0.584228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1825 ÷ 212
    1825 ÷ 4096     		y = 0.445556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.584228515625 × 2 - 1) × π
    0.16845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.52922337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445556640625 × 2 - 1) × π
    0.10888671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.342077715688721
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52922337} λ = 0.52922337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.342077715688721))-π/2
    2×atan(1.40786970682653)-π/2
    2×0.953195660007534-π/2
    1.90639132001507-1.57079632675     		φ = 0.33559499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52922337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.322266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33559499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.228177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2393 KachelY 1825 0.52922337 0.33559499 30.322266 19.228177
    Oben rechts KachelX + 1 2394 KachelY 1825 0.53075735 0.33559499 30.410156 19.228177
    Unten links KachelX 2393 KachelY + 1 1826 0.52922337 0.33414622 30.322266 19.145168
    Unten rechts KachelX + 1 2394 KachelY + 1 1826 0.53075735 0.33414622 30.410156 19.145168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33559499-0.33414622) × R
    0.00144876999999999 × 6371000     		dl = 9230.11366999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33559499-0.33414622) × R
    0.00144876999999999 × 6371000     		dr = 9230.11366999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52922337-0.53075735) × cos(0.33559499) × R
    0.00153398000000005 × 0.944214528108996 × 6371000     		do = 9227.79591185052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52922337-0.53075735) × cos(0.33414622) × R
    0.00153398000000005 × 0.944690661931055 × 6371000     		du = 9232.4491613038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33559499)-sin(0.33414622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944214528108996-0.944690661931055)×R²
    abs(0.53075735-0.52922337)×0.000476133822059688×R²
    0.00153398000000005×0.000476133822059688×6371000²
    0.00153398000000005×0.000476133822059688×40589641000000     		ar = 85195095.1022107m²