Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 23929 / 27501
↖ ↑ ↗
← N 27.775912°
W 48.554077°		 ← 540.41 m → N 27.775912°
W 48.548584°		 →
↑
540.45 m
↓
↑
540.45 m
↓
N 27.771051°
W 48.554077°		 ← 540.44 m →
292 073 m²		 N 27.771051°
W 48.548584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365135192871094 y=0.419639587402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365135192871094 × 216)
    floor (0.365135192871094 × 65536)
    floor (23929.5)     		tx = 23929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419639587402344 × 216)
    floor (0.419639587402344 × 65536)
    floor (27501.5)     		ty = 27501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23929 / 27501 ti = "16/23929/27501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23929/27501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23929 ÷ 216
    23929 ÷ 65536     		x = 0.365127563476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27501 ÷ 216
    27501 ÷ 65536     		y = 0.419631958007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.365127563476562 × 2 - 1) × π
    -0.269744873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.84742851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419631958007812 × 2 - 1) × π
    0.160736083984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.504967300597671
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84742851} λ = -0.84742851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.504967300597671))-π/2
    2×atan(1.65693133891052)-π/2
    2×1.02778871783401-π/2
    2.05557743566803-1.57079632675     		φ = 0.48478111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84742851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.554077°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48478111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.775912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23929 KachelY 27501 -0.84742851 0.48478111 -48.554077 27.775912
    Oben rechts KachelX + 1 23930 KachelY 27501 -0.84733264 0.48478111 -48.548584 27.775912
    Unten links KachelX 23929 KachelY + 1 27502 -0.84742851 0.48469628 -48.554077 27.771051
    Unten rechts KachelX + 1 23930 KachelY + 1 27502 -0.84733264 0.48469628 -48.548584 27.771051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48478111-0.48469628) × R
    8.48300000000357e-05 × 6371000     		dl = 540.451930000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48478111-0.48469628) × R
    8.48300000000357e-05 × 6371000     		dr = 540.451930000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84742851--0.84733264) × cos(0.48478111) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.884776976261872 × 6371000     		do = 540.41095627832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84742851--0.84733264) × cos(0.48469628) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.884816505105492 × 6371000     		du = 540.435100012565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48478111)-sin(0.48469628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884776976261872-0.884816505105492)×R²
    abs(-0.84733264--0.84742851)×3.95288436202401e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.95288436202401e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.95288436202401e-05×40589641000000     		ar = 292072.668752954m²