Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 23928 / 27529
↖ ↑ ↗
← N 27.639740°
W 48.559571°		 ← 541.14 m → N 27.639740°
W 48.554077°		 →
↑
541.09 m
↓
↑
541.09 m
↓
N 27.634874°
W 48.559571°		 ← 541.17 m →
292 813 m²		 N 27.634874°
W 48.554077°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365119934082031 y=0.420066833496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365119934082031 × 216)
    floor (0.365119934082031 × 65536)
    floor (23928.5)     		tx = 23928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420066833496094 × 216)
    floor (0.420066833496094 × 65536)
    floor (27529.5)     		ty = 27529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23928 / 27529 ti = "16/23928/27529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23928/27529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23928 ÷ 216
    23928 ÷ 65536     		x = 0.3651123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27529 ÷ 216
    27529 ÷ 65536     		y = 0.420059204101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3651123046875 × 2 - 1) × π
    -0.269775390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.84752439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420059204101562 × 2 - 1) × π
    0.159881591796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.502282834218948
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84752439} λ = -0.84752439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.502282834218948))-π/2
    2×atan(1.65248932732231)-π/2
    2×1.02660039878917-π/2
    2.05320079757833-1.57079632675     		φ = 0.48240447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84752439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.559571°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48240447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.639740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23928 KachelY 27529 -0.84752439 0.48240447 -48.559571 27.639740
    Oben rechts KachelX + 1 23929 KachelY 27529 -0.84742851 0.48240447 -48.554077 27.639740
    Unten links KachelX 23928 KachelY + 1 27530 -0.84752439 0.48231954 -48.559571 27.634874
    Unten rechts KachelX + 1 23929 KachelY + 1 27530 -0.84742851 0.48231954 -48.554077 27.634874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48240447-0.48231954) × R
    8.49299999999831e-05 × 6371000     		dl = 541.089029999892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48240447-0.48231954) × R
    8.49299999999831e-05 × 6371000     		dr = 541.089029999892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84752439--0.84742851) × cos(0.48240447) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.885882025606279 × 6371000     		do = 541.142346447265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84752439--0.84742851) × cos(0.48231954) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.88592142233777 × 6371000     		du = 541.166411999004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48240447)-sin(0.48231954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885882025606279-0.88592142233777)×R²
    abs(-0.84742851--0.84752439)×3.93967314905597e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.93967314905597e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.93967314905597e-05×40589641000000     		ar = 292812.69831013m²