Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23924 / 27525
↖ ↑ ↗
← N 27.659204°
W 48.581543°		 ← 540.99 m → N 27.659204°
W 48.576050°		 →
↑
541.03 m
↓
↑
541.03 m
↓
N 27.654338°
W 48.581543°		 ← 541.01 m →
292 696 m²		 N 27.654338°
W 48.576050°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365058898925781 y=0.420005798339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365058898925781 × 216)
    floor (0.365058898925781 × 65536)
    floor (23924.5)     		tx = 23924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420005798339844 × 216)
    floor (0.420005798339844 × 65536)
    floor (27525.5)     		ty = 27525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23924 / 27525 ti = "16/23924/27525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23924/27525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23924 ÷ 216
    23924 ÷ 65536     		x = 0.36505126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27525 ÷ 216
    27525 ÷ 65536     		y = 0.419998168945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36505126953125 × 2 - 1) × π
    -0.2698974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.84790788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419998168945312 × 2 - 1) × π
    0.160003662109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.502666329415909
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84790788} λ = -0.84790788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.502666329415909))-π/2
    2×atan(1.65312317057252)-π/2
    2×1.02677024942748-π/2
    2.05354049885496-1.57079632675     		φ = 0.48274417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84790788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.581543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48274417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.659204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23924 KachelY 27525 -0.84790788 0.48274417 -48.581543 27.659204
    Oben rechts KachelX + 1 23925 KachelY 27525 -0.84781201 0.48274417 -48.576050 27.659204
    Unten links KachelX 23924 KachelY + 1 27526 -0.84790788 0.48265925 -48.581543 27.654338
    Unten rechts KachelX + 1 23925 KachelY + 1 27526 -0.84781201 0.48265925 -48.576050 27.654338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48274417-0.48265925) × R
    8.49199999999883e-05 × 6371000     		dl = 541.025319999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48274417-0.48265925) × R
    8.49199999999883e-05 × 6371000     		dr = 541.025319999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84790788--0.84781201) × cos(0.48274417) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.88572438406779 × 6371000     		do = 540.989621379377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84790788--0.84781201) × cos(0.48265925) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.885763801714548 × 6371000     		du = 541.013697195939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48274417)-sin(0.48265925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88572438406779-0.885763801714548)×R²
    abs(-0.84781201--0.84790788)×3.94176467577445e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.94176467577445e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.94176467577445e-05×40589641000000     		ar = 292695.596012393m²