Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23923 / 27540
↖ ↑ ↗
← N 27.586198°
W 48.587036°		 ← 541.35 m → N 27.586198°
W 48.581543°		 →
↑
541.41 m
↓
↑
541.41 m
↓
N 27.581329°
W 48.587036°		 ← 541.37 m →
293 098 m²		 N 27.581329°
W 48.581543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365043640136719 y=0.420234680175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365043640136719 × 216)
    floor (0.365043640136719 × 65536)
    floor (23923.5)     		tx = 23923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420234680175781 × 216)
    floor (0.420234680175781 × 65536)
    floor (27540.5)     		ty = 27540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23923 / 27540 ti = "16/23923/27540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23923/27540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23923 ÷ 216
    23923 ÷ 65536     		x = 0.365036010742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27540 ÷ 216
    27540 ÷ 65536     		y = 0.42022705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.365036010742188 × 2 - 1) × π
    -0.269927978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.84800375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42022705078125 × 2 - 1) × π
    0.1595458984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.501228222427307
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84800375} λ = -0.84800375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.501228222427307))-π/2
    2×atan(1.65074751122349)-π/2
    2×1.02613315375277-π/2
    2.05226630750554-1.57079632675     		φ = 0.48146998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84800375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.587036°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48146998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.586198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23923 KachelY 27540 -0.84800375 0.48146998 -48.587036 27.586198
    Oben rechts KachelX + 1 23924 KachelY 27540 -0.84790788 0.48146998 -48.581543 27.586198
    Unten links KachelX 23923 KachelY + 1 27541 -0.84800375 0.48138500 -48.587036 27.581329
    Unten rechts KachelX + 1 23924 KachelY + 1 27541 -0.84790788 0.48138500 -48.581543 27.581329
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48146998-0.48138500) × R
    8.49800000000123e-05 × 6371000     		dl = 541.407580000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48146998-0.48138500) × R
    8.49800000000123e-05 × 6371000     		dr = 541.407580000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84800375--0.84790788) × cos(0.48146998) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.886315158543873 × 6371000     		do = 541.350459204197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84800375--0.84790788) × cos(0.48138500) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.886354508097849 × 6371000     		du = 541.37449343052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48146998)-sin(0.48138500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886315158543873-0.886354508097849)×R²
    abs(-0.84790788--0.84800375)×3.9349553975887e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.9349553975887e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.9349553975887e-05×40589641000000     		ar = 293097.748382365m²