Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2392 / 1851
↖ ↑ ↗
← N 17.056785°
E 30.234375°		 ← 9 343.12 m → N 17.056785°
E 30.322266°		 →
↑
9 345.24 m
↓
↑
9 345.24 m
↓
N 16.972741°
E 30.234375°		 ← 9 347.31 m →
87 333 266 m²		 N 16.972741°
E 30.322266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5841064453125 y=0.4520263671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5841064453125 × 212)
    floor (0.5841064453125 × 4096)
    floor (2392.5)     		tx = 2392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4520263671875 × 212)
    floor (0.4520263671875 × 4096)
    floor (1851.5)     		ty = 1851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2392 / 1851 ti = "12/2392/1851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2392/1851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2392 ÷ 212
    2392 ÷ 4096     		x = 0.583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1851 ÷ 212
    1851 ÷ 4096     		y = 0.451904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583984375 × 2 - 1) × π
    0.16796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52768939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451904296875 × 2 - 1) × π
    0.09619140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.302194215204834
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52768939} λ = 0.52768939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.302194215204834))-π/2
    2×atan(1.35282394017583)-π/2
    2×0.934246689016817-π/2
    1.86849337803363-1.57079632675     		φ = 0.29769705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52768939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.234375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29769705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.056785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2392 KachelY 1851 0.52768939 0.29769705 30.234375 17.056785
    Oben rechts KachelX + 1 2393 KachelY 1851 0.52922337 0.29769705 30.322266 17.056785
    Unten links KachelX 2392 KachelY + 1 1852 0.52768939 0.29623021 30.234375 16.972741
    Unten rechts KachelX + 1 2393 KachelY + 1 1852 0.52922337 0.29623021 30.322266 16.972741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29769705-0.29623021) × R
    0.00146684000000002 × 6371000     		dl = 9345.23764000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29769705-0.29623021) × R
    0.00146684000000002 × 6371000     		dr = 9345.23764000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52768939-0.52922337) × cos(0.29769705) × R
    0.00153397999999993 × 0.956014523433953 × 6371000     		do = 9343.11710780472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52768939-0.52922337) × cos(0.29623021) × R
    0.00153397999999993 × 0.956443747320158 × 6371000     		du = 9347.31190708442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29769705)-sin(0.29623021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.956014523433953-0.956443747320158)×R²
    abs(0.52922337-0.52768939)×0.000429223886205143×R²
    0.00153397999999993×0.000429223886205143×6371000²
    0.00153397999999993×0.000429223886205143×40589641000000     		ar = 87333266.0278435m²