Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2392 / 1848
↖ ↑ ↗
← N 17.308688°
E 30.234375°		 ← 9 330.42 m → N 17.308688°
E 30.322266°		 →
↑
9 332.56 m
↓
↑
9 332.56 m
↓
N 17.224758°
E 30.234375°		 ← 9 334.67 m →
87 096 577 m²		 N 17.224758°
E 30.322266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5841064453125 y=0.4512939453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5841064453125 × 212)
    floor (0.5841064453125 × 4096)
    floor (2392.5)     		tx = 2392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4512939453125 × 212)
    floor (0.4512939453125 × 4096)
    floor (1848.5)     		ty = 1848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2392 / 1848 ti = "12/2392/1848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2392/1848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2392 ÷ 212
    2392 ÷ 4096     		x = 0.583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1848 ÷ 212
    1848 ÷ 4096     		y = 0.451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583984375 × 2 - 1) × π
    0.16796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52768939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451171875 × 2 - 1) × π
    0.09765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.306796157568359
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52768939} λ = 0.52768939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.306796157568359))-π/2
    2×atan(1.35906390494319)-π/2
    2×0.936444959805361-π/2
    1.87288991961072-1.57079632675     		φ = 0.30209359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52768939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.234375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30209359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.308688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2392 KachelY 1848 0.52768939 0.30209359 30.234375 17.308688
    Oben rechts KachelX + 1 2393 KachelY 1848 0.52922337 0.30209359 30.322266 17.308688
    Unten links KachelX 2392 KachelY + 1 1849 0.52768939 0.30062874 30.234375 17.224758
    Unten rechts KachelX + 1 2393 KachelY + 1 1849 0.52922337 0.30062874 30.322266 17.224758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30209359-0.30062874) × R
    0.00146485000000002 × 6371000     		dl = 9332.55935000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30209359-0.30062874) × R
    0.00146485000000002 × 6371000     		dr = 9332.55935000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52768939-0.52922337) × cos(0.30209359) × R
    0.00153397999999993 × 0.954715697752077 × 6371000     		do = 9330.42370184599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52768939-0.52922337) × cos(0.30062874) × R
    0.00153397999999993 × 0.955150494934179 × 6371000     		du = 9334.6729688717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30209359)-sin(0.30062874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954715697752077-0.955150494934179)×R²
    abs(0.52922337-0.52768939)×0.000434797182102042×R²
    0.00153397999999993×0.000434797182102042×6371000²
    0.00153397999999993×0.000434797182102042×40589641000000     		ar = 87096576.8006967m²