Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23915 / 27535
↖ ↑ ↗
← N 27.610539°
W 48.630981°		 ← 541.23 m → N 27.610539°
W 48.625488°		 →
↑
541.28 m
↓
↑
541.28 m
↓
N 27.605671°
W 48.630981°		 ← 541.25 m →
292 964 m²		 N 27.605671°
W 48.625488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364921569824219 y=0.420158386230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364921569824219 × 216)
    floor (0.364921569824219 × 65536)
    floor (23915.5)     		tx = 23915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420158386230469 × 216)
    floor (0.420158386230469 × 65536)
    floor (27535.5)     		ty = 27535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23915 / 27535 ti = "16/23915/27535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23915/27535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23915 ÷ 216
    23915 ÷ 65536     		x = 0.364913940429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27535 ÷ 216
    27535 ÷ 65536     		y = 0.420150756835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364913940429688 × 2 - 1) × π
    -0.270172119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.84877074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420150756835938 × 2 - 1) × π
    0.159698486328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.501707591423508
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84877074} λ = -0.84877074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.501707591423508))-π/2
    2×atan(1.65153901809769)-π/2
    2×1.02634556617292-π/2
    2.05269113234584-1.57079632675     		φ = 0.48189481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84877074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.630981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48189481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.610539°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23915 KachelY 27535 -0.84877074 0.48189481 -48.630981 27.610539
    Oben rechts KachelX + 1 23916 KachelY 27535 -0.84867487 0.48189481 -48.625488 27.610539
    Unten links KachelX 23915 KachelY + 1 27536 -0.84877074 0.48180985 -48.630981 27.605671
    Unten rechts KachelX + 1 23916 KachelY + 1 27536 -0.84867487 0.48180985 -48.625488 27.605671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48189481-0.48180985) × R
    8.49600000000228e-05 × 6371000     		dl = 541.280160000145m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48189481-0.48180985) × R
    8.49600000000228e-05 × 6371000     		dr = 541.280160000145m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84877074--0.84867487) × cos(0.48189481) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.886118347212604 × 6371000     		do = 541.230249250061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84877074--0.84867487) × cos(0.48180985) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.886157719493861 × 6371000     		du = 541.254297357929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48189481)-sin(0.48180985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886118347212604-0.886157719493861)×R²
    abs(-0.84867487--0.84877074)×3.93722812567221e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.93722812567221e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.93722812567221e-05×40589641000000     		ar = 292963.704468977m²