Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 23914 / 27510
↖ ↑ ↗
← N 27.732161°
W 48.636475°		 ← 540.68 m → N 27.732161°
W 48.630981°		 →
↑
540.64 m
↓
↑
540.64 m
↓
N 27.727298°
W 48.636475°		 ← 540.71 m →
292 324 m²		 N 27.727298°
W 48.630981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364906311035156 y=0.419776916503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364906311035156 × 216)
    floor (0.364906311035156 × 65536)
    floor (23914.5)     		tx = 23914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419776916503906 × 216)
    floor (0.419776916503906 × 65536)
    floor (27510.5)     		ty = 27510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23914 / 27510 ti = "16/23914/27510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23914/27510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23914 ÷ 216
    23914 ÷ 65536     		x = 0.364898681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27510 ÷ 216
    27510 ÷ 65536     		y = 0.419769287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364898681640625 × 2 - 1) × π
    -0.27020263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.84886662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419769287109375 × 2 - 1) × π
    0.16046142578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.504104436404511
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84886662} λ = -0.84886662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.504104436404511))-π/2
    2×atan(1.65550224883165)-π/2
    2×1.02740691992827-π/2
    2.05481383985654-1.57079632675     		φ = 0.48401751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84886662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.636475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48401751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.732161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23914 KachelY 27510 -0.84886662 0.48401751 -48.636475 27.732161
    Oben rechts KachelX + 1 23915 KachelY 27510 -0.84877074 0.48401751 -48.630981 27.732161
    Unten links KachelX 23914 KachelY + 1 27511 -0.84886662 0.48393265 -48.636475 27.727298
    Unten rechts KachelX + 1 23915 KachelY + 1 27511 -0.84877074 0.48393265 -48.630981 27.727298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48401751-0.48393265) × R
    8.48599999999644e-05 × 6371000     		dl = 540.643059999773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48401751-0.48393265) × R
    8.48599999999644e-05 × 6371000     		dr = 540.643059999773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84886662--0.84877074) × cos(0.48401751) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.88513256710351 × 6371000     		do = 540.68453861165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84886662--0.84877074) × cos(0.48393265) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.885172052579766 × 6371000     		du = 540.70865837326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48401751)-sin(0.48393265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88513256710351-0.885172052579766)×R²
    abs(-0.84877074--0.84886662)×3.9485476256762e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.9485476256762e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.9485476256762e-05×40589641000000     		ar = 292323.863715694m²