Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23913 / 27527
↖ ↑ ↗
← N 27.649472°
W 48.641968°		 ← 541.04 m → N 27.649472°
W 48.636475°		 →
↑
541.09 m
↓
↑
541.09 m
↓
N 27.644606°
W 48.641968°		 ← 541.06 m →
292 756 m²		 N 27.644606°
W 48.636475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364891052246094 y=0.420036315917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364891052246094 × 216)
    floor (0.364891052246094 × 65536)
    floor (23913.5)     		tx = 23913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420036315917969 × 216)
    floor (0.420036315917969 × 65536)
    floor (27527.5)     		ty = 27527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23913 / 27527 ti = "16/23913/27527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23913/27527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23913 ÷ 216
    23913 ÷ 65536     		x = 0.364883422851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27527 ÷ 216
    27527 ÷ 65536     		y = 0.420028686523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364883422851562 × 2 - 1) × π
    -0.270233154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.84896249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420028686523438 × 2 - 1) × π
    0.159942626953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.502474581817429
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84896249} λ = -0.84896249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.502474581817429))-π/2
    2×atan(1.65280621856293)-π/2
    2×1.02668532788676-π/2
    2.05337065577352-1.57079632675     		φ = 0.48257433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84896249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.641968°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48257433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.649472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23913 KachelY 27527 -0.84896249 0.48257433 -48.641968 27.649472
    Oben rechts KachelX + 1 23914 KachelY 27527 -0.84886662 0.48257433 -48.636475 27.649472
    Unten links KachelX 23913 KachelY + 1 27528 -0.84896249 0.48248940 -48.641968 27.644606
    Unten rechts KachelX + 1 23914 KachelY + 1 27528 -0.84886662 0.48248940 -48.636475 27.644606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48257433-0.48248940) × R
    8.49299999999831e-05 × 6371000     		dl = 541.089029999892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48257433-0.48248940) × R
    8.49299999999831e-05 × 6371000     		dr = 541.089029999892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84896249--0.84886662) × cos(0.48257433) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.885803212973703 × 6371000     		do = 541.037769111031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84896249--0.84886662) × cos(0.48248940) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.885842622484829 × 6371000     		du = 541.061839958449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48257433)-sin(0.48248940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885803212973703-0.885842622484829)×R²
    abs(-0.84886662--0.84896249)×3.94095111262427e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.94095111262427e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.94095111262427e-05×40589641000000     		ar = 292756.114093186m²