Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23912 / 27544
↖ ↑ ↗
← N 27.566721°
W 48.647461°		 ← 541.50 m → N 27.566721°
W 48.641968°		 →
↑
541.47 m
↓
↑
541.47 m
↓
N 27.561852°
W 48.647461°		 ← 541.53 m →
293 215 m²		 N 27.561852°
W 48.641968°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364875793457031 y=0.420295715332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364875793457031 × 216)
    floor (0.364875793457031 × 65536)
    floor (23912.5)     		tx = 23912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420295715332031 × 216)
    floor (0.420295715332031 × 65536)
    floor (27544.5)     		ty = 27544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23912 / 27544 ti = "16/23912/27544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23912/27544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23912 ÷ 216
    23912 ÷ 65536     		x = 0.3648681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27544 ÷ 216
    27544 ÷ 65536     		y = 0.4202880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3648681640625 × 2 - 1) × π
    -0.270263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.84905837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4202880859375 × 2 - 1) × π
    0.159423828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.500844727230347
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84905837} λ = -0.84905837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.500844727230347))-π/2
    2×atan(1.65011457885256)-π/2
    2×1.02596318986147-π/2
    2.05192637972294-1.57079632675     		φ = 0.48113005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84905837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.647461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48113005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.566721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23912 KachelY 27544 -0.84905837 0.48113005 -48.647461 27.566721
    Oben rechts KachelX + 1 23913 KachelY 27544 -0.84896249 0.48113005 -48.641968 27.566721
    Unten links KachelX 23912 KachelY + 1 27545 -0.84905837 0.48104506 -48.647461 27.561852
    Unten rechts KachelX + 1 23913 KachelY + 1 27545 -0.84896249 0.48104506 -48.641968 27.561852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48113005-0.48104506) × R
    8.49899999999515e-05 × 6371000     		dl = 541.471289999691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48113005-0.48104506) × R
    8.49899999999515e-05 × 6371000     		dr = 541.471289999691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84905837--0.84896249) × cos(0.48113005) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.886472522981064 × 6371000     		do = 541.503052641962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84905837--0.84896249) × cos(0.48104506) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.886511851556048 × 6371000     		du = 541.527076560197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48113005)-sin(0.48104506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886472522981064-0.886511851556048)×R²
    abs(-0.84896249--0.84905837)×3.93285749846761e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.93285749846761e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.93285749846761e-05×40589641000000     		ar = 293214.860760379m²