Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23912 / 27512
↖ ↑ ↗
← N 27.722436°
W 48.647461°		 ← 540.73 m → N 27.722436°
W 48.641968°		 →
↑
540.71 m
↓
↑
540.71 m
↓
N 27.717573°
W 48.647461°		 ← 540.76 m →
292 384 m²		 N 27.717573°
W 48.641968°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364875793457031 y=0.419807434082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364875793457031 × 216)
    floor (0.364875793457031 × 65536)
    floor (23912.5)     		tx = 23912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419807434082031 × 216)
    floor (0.419807434082031 × 65536)
    floor (27512.5)     		ty = 27512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23912 / 27512 ti = "16/23912/27512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23912/27512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23912 ÷ 216
    23912 ÷ 65536     		x = 0.3648681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27512 ÷ 216
    27512 ÷ 65536     		y = 0.4197998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3648681640625 × 2 - 1) × π
    -0.270263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.84905837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4197998046875 × 2 - 1) × π
    0.160400390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.50391268880603
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84905837} λ = -0.84905837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.50391268880603))-π/2
    2×atan(1.65518484068325)-π/2
    2×1.02732205512069-π/2
    2.05464411024137-1.57079632675     		φ = 0.48384778
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84905837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.647461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48384778 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.722436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23912 KachelY 27512 -0.84905837 0.48384778 -48.647461 27.722436
    Oben rechts KachelX + 1 23913 KachelY 27512 -0.84896249 0.48384778 -48.641968 27.722436
    Unten links KachelX 23912 KachelY + 1 27513 -0.84905837 0.48376291 -48.647461 27.717573
    Unten rechts KachelX + 1 23913 KachelY + 1 27513 -0.84896249 0.48376291 -48.641968 27.717573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48384778-0.48376291) × R
    8.48700000000147e-05 × 6371000     		dl = 540.706770000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48384778-0.48376291) × R
    8.48700000000147e-05 × 6371000     		dr = 540.706770000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84905837--0.84896249) × cos(0.48384778) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.885211536333592 × 6371000     		do = 540.732777082094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84905837--0.84896249) × cos(0.48376291) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.885251013711313 × 6371000     		du = 540.756891896701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48384778)-sin(0.48376291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885211536333592-0.885251013711313)×R²
    abs(-0.84896249--0.84905837)×3.9477377720476e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.9477377720476e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.9477377720476e-05×40589641000000     		ar = 292384.393026477m²