Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2391 / 1850
↖ ↑ ↗
← N 17.140790°
E 30.146484°		 ← 9 338.90 m → N 17.140790°
E 30.234375°		 →
↑
9 341.03 m
↓
↑
9 341.03 m
↓
N 17.056785°
E 30.146484°		 ← 9 343.12 m →
87 254 702 m²		 N 17.056785°
E 30.234375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5838623046875 y=0.4517822265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5838623046875 × 212)
    floor (0.5838623046875 × 4096)
    floor (2391.5)     		tx = 2391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4517822265625 × 212)
    floor (0.4517822265625 × 4096)
    floor (1850.5)     		ty = 1850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2391 / 1850 ti = "12/2391/1850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2391/1850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2391 ÷ 212
    2391 ÷ 4096     		x = 0.583740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1850 ÷ 212
    1850 ÷ 4096     		y = 0.45166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583740234375 × 2 - 1) × π
    0.16748046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52615541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45166015625 × 2 - 1) × π
    0.0966796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.303728195992676
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52615541} λ = 0.52615541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.303728195992676))-π/2
    2×atan(1.35490073858658)-π/2
    2×0.934979777772095-π/2
    1.86995955554419-1.57079632675     		φ = 0.29916323
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52615541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.146484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29916323 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.140790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2391 KachelY 1850 0.52615541 0.29916323 30.146484 17.140790
    Oben rechts KachelX + 1 2392 KachelY 1850 0.52768939 0.29916323 30.234375 17.140790
    Unten links KachelX 2391 KachelY + 1 1851 0.52615541 0.29769705 30.146484 17.056785
    Unten rechts KachelX + 1 2392 KachelY + 1 1851 0.52768939 0.29769705 30.234375 17.056785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29916323-0.29769705) × R
    0.00146617999999998 × 6371000     		dl = 9341.0327799999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29916323-0.29769705) × R
    0.00146617999999998 × 6371000     		dr = 9341.0327799999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52615541-0.52768939) × cos(0.29916323) × R
    0.00153398000000005 × 0.955583437084419 × 6371000     		do = 9338.90410669658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52615541-0.52768939) × cos(0.29769705) × R
    0.00153398000000005 × 0.956014523433953 × 6371000     		du = 9343.1171078054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29916323)-sin(0.29769705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.955583437084419-0.956014523433953)×R²
    abs(0.52768939-0.52615541)×0.000431086349534815×R²
    0.00153398000000005×0.000431086349534815×6371000²
    0.00153398000000005×0.000431086349534815×40589641000000     		ar = 87254701.9114946m²