Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2391 / 1359
↖ ↑ ↗
← N 81.675606°
W127.463379°		 ← 353.73 m → N 81.675606°
W127.441406°		 →
↑
353.78 m
↓
↑
353.78 m
↓
N 81.672424°
W127.463379°		 ← 353.87 m →
125 168 m²		 N 81.672424°
W127.441406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145965576171875 y=0.082977294921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145965576171875 × 214)
    floor (0.145965576171875 × 16384)
    floor (2391.5)     		tx = 2391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.082977294921875 × 214)
    floor (0.082977294921875 × 16384)
    floor (1359.5)     		ty = 1359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2391 / 1359 ti = "14/2391/1359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2391/1359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2391 ÷ 214
    2391 ÷ 16384     		x = 0.14593505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1359 ÷ 214
    1359 ÷ 16384     		y = 0.08294677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14593505859375 × 2 - 1) × π
    -0.7081298828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.22465564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08294677734375 × 2 - 1) × π
    0.8341064453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.62042268083075
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22465564} λ = -2.22465564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62042268083075))-π/2
    2×atan(13.7415306393126)-π/2
    2×1.49815228482028-π/2
    2.99630456964056-1.57079632675     		φ = 1.42550824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22465564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.463379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42550824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.675606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2391 KachelY 1359 -2.22465564 1.42550824 -127.463379 81.675606
    Oben rechts KachelX + 1 2392 KachelY 1359 -2.22427214 1.42550824 -127.441406 81.675606
    Unten links KachelX 2391 KachelY + 1 1360 -2.22465564 1.42545271 -127.463379 81.672424
    Unten rechts KachelX + 1 2392 KachelY + 1 1360 -2.22427214 1.42545271 -127.441406 81.672424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42550824-1.42545271) × R
    5.55300000000258e-05 × 6371000     		dl = 353.781630000165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42550824-1.42545271) × R
    5.55300000000258e-05 × 6371000     		dr = 353.781630000165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22465564--2.22427214) × cos(1.42550824) × R
    0.00038349999999987 × 0.144777487295535 × 6371000     		do = 353.731721993084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22465564--2.22427214) × cos(1.42545271) × R
    0.00038349999999987 × 0.144832432021451 × 6371000     		du = 353.865967260604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42550824)-sin(1.42545271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144777487295535-0.144832432021451)×R²
    abs(-2.22427214--2.22465564)×5.49447259164115e-05×R²
    0.00038349999999987×5.49447259164115e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.49447259164115e-05×40589641000000     		ar = 125167.531975942m²