Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23908 / 30180
↖ ↑ ↗
← N 14.072645°
W 48.669434°		 ← 592.46 m → N 14.072645°
W 48.663941°		 →
↑
592.50 m
↓
↑
592.50 m
↓
N 14.067317°
W 48.669434°		 ← 592.47 m →
351 037 m²		 N 14.067317°
W 48.663941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23908 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364814758300781 y=0.460517883300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364814758300781 × 216)
    floor (0.364814758300781 × 65536)
    floor (23908.5)     		tx = 23908
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460517883300781 × 216)
    floor (0.460517883300781 × 65536)
    floor (30180.5)     		ty = 30180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23908 / 30180 ti = "16/23908/30180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23908/30180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23908 ÷ 216
    23908 ÷ 65536     		x = 0.36480712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30180 ÷ 216
    30180 ÷ 65536     		y = 0.46051025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36480712890625 × 2 - 1) × π
    -0.2703857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.84944186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46051025390625 × 2 - 1) × π
    0.0789794921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.248121392433411
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84944186} λ = -0.84944186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.248121392433411))-π/2
    2×atan(1.28161550117577)-π/2
    2×0.908205157853061-π/2
    1.81641031570612-1.57079632675     		φ = 0.24561399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84944186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.669434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24561399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.072645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23908 KachelY 30180 -0.84944186 0.24561399 -48.669434 14.072645
    Oben rechts KachelX + 1 23909 KachelY 30180 -0.84934599 0.24561399 -48.663941 14.072645
    Unten links KachelX 23908 KachelY + 1 30181 -0.84944186 0.24552099 -48.669434 14.067317
    Unten rechts KachelX + 1 23909 KachelY + 1 30181 -0.84934599 0.24552099 -48.663941 14.067317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24561399-0.24552099) × R
    9.30000000000097e-05 × 6371000     		dl = 592.503000000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24561399-0.24552099) × R
    9.30000000000097e-05 × 6371000     		dr = 592.503000000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84944186--0.84934599) × cos(0.24561399) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.969988214961153 × 6371000     		do = 592.45693874239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84944186--0.84934599) × cos(0.24552099) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.970010823896235 × 6371000     		du = 592.470748003431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24561399)-sin(0.24552099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.969988214961153-0.970010823896235)×R²
    abs(-0.84934599--0.84944186)×2.26089350825465e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.26089350825465e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.26089350825465e-05×40589641000000     		ar = 351036.60484304m²