Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23905 / 27555
↖ ↑ ↗
← N 27.513143°
W 48.685913°		 ← 541.71 m → N 27.513143°
W 48.680420°		 →
↑
541.73 m
↓
↑
541.73 m
↓
N 27.508272°
W 48.685913°		 ← 541.73 m →
293 465 m²		 N 27.508272°
W 48.680420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364768981933594 y=0.420463562011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364768981933594 × 216)
    floor (0.364768981933594 × 65536)
    floor (23905.5)     		tx = 23905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420463562011719 × 216)
    floor (0.420463562011719 × 65536)
    floor (27555.5)     		ty = 27555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23905 / 27555 ti = "16/23905/27555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23905/27555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23905 ÷ 216
    23905 ÷ 65536     		x = 0.364761352539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27555 ÷ 216
    27555 ÷ 65536     		y = 0.420455932617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364761352539062 × 2 - 1) × π
    -0.270477294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.84972948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420455932617188 × 2 - 1) × π
    0.159088134765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.499790115438705
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84972948} λ = -0.84972948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.499790115438705))-π/2
    2×atan(1.64837526587134)-π/2
    2×1.02549563365526-π/2
    2.05099126731053-1.57079632675     		φ = 0.48019494
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84972948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.685913°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48019494 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.513143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23905 KachelY 27555 -0.84972948 0.48019494 -48.685913 27.513143
    Oben rechts KachelX + 1 23906 KachelY 27555 -0.84963361 0.48019494 -48.680420 27.513143
    Unten links KachelX 23905 KachelY + 1 27556 -0.84972948 0.48010991 -48.685913 27.508272
    Unten rechts KachelX + 1 23906 KachelY + 1 27556 -0.84963361 0.48010991 -48.680420 27.508272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48019494-0.48010991) × R
    8.50300000000415e-05 × 6371000     		dl = 541.726130000264m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48019494-0.48010991) × R
    8.50300000000415e-05 × 6371000     		dr = 541.726130000264m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84972948--0.84963361) × cos(0.48019494) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.88690488669376 × 6371000     		do = 541.710657945772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84972948--0.84963361) × cos(0.48010991) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.886944163272661 × 6371000     		du = 541.734647599813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48019494)-sin(0.48010991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88690488669376-0.886944163272661)×R²
    abs(-0.84963361--0.84972948)×3.92765789014593e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.92765789014593e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.92765789014593e-05×40589641000000     		ar = 293465.316396837m²