Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23904 / 27552
↖ ↑ ↗
← N 27.527758°
W 48.691406°		 ← 541.70 m → N 27.527758°
W 48.685913°		 →
↑
541.73 m
↓
↑
541.73 m
↓
N 27.522887°
W 48.691406°		 ← 541.72 m →
293 457 m²		 N 27.522887°
W 48.685913°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364753723144531 y=0.420417785644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364753723144531 × 216)
    floor (0.364753723144531 × 65536)
    floor (23904.5)     		tx = 23904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420417785644531 × 216)
    floor (0.420417785644531 × 65536)
    floor (27552.5)     		ty = 27552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23904 / 27552 ti = "16/23904/27552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23904/27552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23904 ÷ 216
    23904 ÷ 65536     		x = 0.36474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27552 ÷ 216
    27552 ÷ 65536     		y = 0.42041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36474609375 × 2 - 1) × π
    -0.2705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.84982536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42041015625 × 2 - 1) × π
    0.1591796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.500077736836426
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84982536} λ = -0.84982536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.500077736836426))-π/2
    2×atan(1.64884944205761)-π/2
    2×1.02562317159243-π/2
    2.05124634318485-1.57079632675     		φ = 0.48045002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84982536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.691406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48045002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.527758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23904 KachelY 27552 -0.84982536 0.48045002 -48.691406 27.527758
    Oben rechts KachelX + 1 23905 KachelY 27552 -0.84972948 0.48045002 -48.685913 27.527758
    Unten links KachelX 23904 KachelY + 1 27553 -0.84982536 0.48036499 -48.691406 27.522887
    Unten rechts KachelX + 1 23905 KachelY + 1 27553 -0.84972948 0.48036499 -48.685913 27.522887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48045002-0.48036499) × R
    8.5029999999986e-05 × 6371000     		dl = 541.726129999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48045002-0.48036499) × R
    8.5029999999986e-05 × 6371000     		dr = 541.726129999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84982536--0.84972948) × cos(0.48045002) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.886787023105504 × 6371000     		do = 541.695165508436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84982536--0.84972948) × cos(0.48036499) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.886826318920034 × 6371000     		du = 541.7191694149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48045002)-sin(0.48036499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886787023105504-0.886826318920034)×R²
    abs(-0.84972948--0.84982536)×3.92958145306599e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.92958145306599e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.92958145306599e-05×40589641000000     		ar = 293456.927599005m²