Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23904 / 27548
↖ ↑ ↗
← N 27.547241°
W 48.691406°		 ← 541.60 m → N 27.547241°
W 48.685913°		 →
↑
541.54 m
↓
↑
541.54 m
↓
N 27.542371°
W 48.691406°		 ← 541.62 m →
293 301 m²		 N 27.542371°
W 48.685913°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364753723144531 y=0.420356750488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364753723144531 × 216)
    floor (0.364753723144531 × 65536)
    floor (23904.5)     		tx = 23904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420356750488281 × 216)
    floor (0.420356750488281 × 65536)
    floor (27548.5)     		ty = 27548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23904 / 27548 ti = "16/23904/27548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23904/27548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23904 ÷ 216
    23904 ÷ 65536     		x = 0.36474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27548 ÷ 216
    27548 ÷ 65536     		y = 0.42034912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36474609375 × 2 - 1) × π
    -0.2705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.84982536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42034912109375 × 2 - 1) × π
    0.1593017578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.500461232033386
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84982536} λ = -0.84982536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.500461232033386))-π/2
    2×atan(1.64948188916162)-π/2
    2×1.02579319580325-π/2
    2.05158639160651-1.57079632675     		φ = 0.48079006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84982536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.691406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48079006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.547241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23904 KachelY 27548 -0.84982536 0.48079006 -48.691406 27.547241
    Oben rechts KachelX + 1 23905 KachelY 27548 -0.84972948 0.48079006 -48.685913 27.547241
    Unten links KachelX 23904 KachelY + 1 27549 -0.84982536 0.48070506 -48.691406 27.542371
    Unten rechts KachelX + 1 23905 KachelY + 1 27549 -0.84972948 0.48070506 -48.685913 27.542371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48079006-0.48070506) × R
    8.50000000000017e-05 × 6371000     		dl = 541.535000000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48079006-0.48070506) × R
    8.50000000000017e-05 × 6371000     		dr = 541.535000000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84982536--0.84972948) × cos(0.48079006) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.886629812733014 × 6371000     		do = 541.599133319729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84982536--0.84972948) × cos(0.48070506) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.886669120313914 × 6371000     		du = 541.623144413697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48079006)-sin(0.48070506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886629812733014-0.886669120313914)×R²
    abs(-0.84972948--0.84982536)×3.93075808997612e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.93075808997612e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.93075808997612e-05×40589641000000     		ar = 293301.388262744m²