Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23903 / 27554
↖ ↑ ↗
← N 27.518015°
W 48.696899°		 ← 541.69 m → N 27.518015°
W 48.691406°		 →
↑
541.73 m
↓
↑
541.73 m
↓
N 27.513143°
W 48.696899°		 ← 541.71 m →
293 452 m²		 N 27.513143°
W 48.691406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364738464355469 y=0.420448303222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364738464355469 × 216)
    floor (0.364738464355469 × 65536)
    floor (23903.5)     		tx = 23903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420448303222656 × 216)
    floor (0.420448303222656 × 65536)
    floor (27554.5)     		ty = 27554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23903 / 27554 ti = "16/23903/27554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23903/27554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23903 ÷ 216
    23903 ÷ 65536     		x = 0.364730834960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27554 ÷ 216
    27554 ÷ 65536     		y = 0.420440673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364730834960938 × 2 - 1) × π
    -0.270538330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.84992123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420440673828125 × 2 - 1) × π
    0.15911865234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.499885989237946
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84992123} λ = -0.84992123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.499885989237946))-π/2
    2×atan(1.64853330944665)-π/2
    2×1.02553814818426-π/2
    2.05107629636851-1.57079632675     		φ = 0.48027997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84992123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.696899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48027997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.518015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23903 KachelY 27554 -0.84992123 0.48027997 -48.696899 27.518015
    Oben rechts KachelX + 1 23904 KachelY 27554 -0.84982536 0.48027997 -48.691406 27.518015
    Unten links KachelX 23903 KachelY + 1 27555 -0.84992123 0.48019494 -48.696899 27.513143
    Unten rechts KachelX + 1 23904 KachelY + 1 27555 -0.84982536 0.48019494 -48.691406 27.513143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48027997-0.48019494) × R
    8.5029999999986e-05 × 6371000     		dl = 541.726129999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48027997-0.48019494) × R
    8.5029999999986e-05 × 6371000     		dr = 541.726129999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84992123--0.84982536) × cos(0.48027997) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.886865603702446 × 6371000     		do = 541.686664375109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84992123--0.84982536) × cos(0.48019494) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.88690488669376 × 6371000     		du = 541.710657945772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48027997)-sin(0.48019494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886865603702446-0.88690488669376)×R²
    abs(-0.84982536--0.84992123)×3.9282991313172e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.9282991313172e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.9282991313172e-05×40589641000000     		ar = 293452.31951347m²