Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23903 / 27551
↖ ↑ ↗
← N 27.532629°
W 48.696899°		 ← 541.61 m → N 27.532629°
W 48.691406°		 →
↑
541.60 m
↓
↑
541.60 m
↓
N 27.527758°
W 48.696899°		 ← 541.64 m →
293 344 m²		 N 27.527758°
W 48.691406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364738464355469 y=0.420402526855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364738464355469 × 216)
    floor (0.364738464355469 × 65536)
    floor (23903.5)     		tx = 23903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420402526855469 × 216)
    floor (0.420402526855469 × 65536)
    floor (27551.5)     		ty = 27551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23903 / 27551 ti = "16/23903/27551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23903/27551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23903 ÷ 216
    23903 ÷ 65536     		x = 0.364730834960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27551 ÷ 216
    27551 ÷ 65536     		y = 0.420394897460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364730834960938 × 2 - 1) × π
    -0.270538330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.84992123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420394897460938 × 2 - 1) × π
    0.159210205078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.500173610635666
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84992123} λ = -0.84992123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.500173610635666))-π/2
    2×atan(1.64900753109618)-π/2
    2×1.02566568047116-π/2
    2.05133136094232-1.57079632675     		φ = 0.48053503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84992123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.696899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48053503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.532629°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23903 KachelY 27551 -0.84992123 0.48053503 -48.696899 27.532629
    Oben rechts KachelX + 1 23904 KachelY 27551 -0.84982536 0.48053503 -48.691406 27.532629
    Unten links KachelX 23903 KachelY + 1 27552 -0.84992123 0.48045002 -48.696899 27.527758
    Unten rechts KachelX + 1 23904 KachelY + 1 27552 -0.84982536 0.48045002 -48.691406 27.527758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48053503-0.48045002) × R
    8.50099999999965e-05 × 6371000     		dl = 541.598709999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48053503-0.48045002) × R
    8.50099999999965e-05 × 6371000     		dr = 541.598709999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84992123--0.84982536) × cos(0.48053503) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.886747730124487 × 6371000     		do = 541.614668635286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84992123--0.84982536) × cos(0.48045002) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.886787023105504 × 6371000     		du = 541.638668307537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48053503)-sin(0.48045002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886747730124487-0.886787023105504)×R²
    abs(-0.84982536--0.84992123)×3.92929810165699e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.92929810165699e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.92929810165699e-05×40589641000000     		ar = 293344.305122226m²