Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23902 / 40428
↖ ↑ ↗
← S 38.736946°
W 48.702392°		 ← 476.43 m → S 38.736946°
W 48.696899°		 →
↑
476.42 m
↓
↑
476.42 m
↓
S 38.741231°
W 48.702392°		 ← 476.40 m →
226 976 m²		 S 38.741231°
W 48.696899°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23902 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364723205566406 y=0.616889953613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364723205566406 × 216)
    floor (0.364723205566406 × 65536)
    floor (23902.5)     		tx = 23902
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616889953613281 × 216)
    floor (0.616889953613281 × 65536)
    floor (40428.5)     		ty = 40428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23902 / 40428 ti = "16/23902/40428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23902/40428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23902 ÷ 216
    23902 ÷ 65536     		x = 0.364715576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40428 ÷ 216
    40428 ÷ 65536     		y = 0.61688232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364715576171875 × 2 - 1) × π
    -0.27056884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.85001710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61688232421875 × 2 - 1) × π
    -0.2337646484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.73439330217926
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85001710} λ = -0.85001710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.73439330217926))-π/2
    2×atan(0.47979646215846)-π/2
    2×0.44735453789888-π/2
    0.89470907579776-1.57079632675     		φ = -0.67608725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85001710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.702392°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67608725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.736946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23902 KachelY 40428 -0.85001710 -0.67608725 -48.702392 -38.736946
    Oben rechts KachelX + 1 23903 KachelY 40428 -0.84992123 -0.67608725 -48.696899 -38.736946
    Unten links KachelX 23902 KachelY + 1 40429 -0.85001710 -0.67616203 -48.702392 -38.741231
    Unten rechts KachelX + 1 23903 KachelY + 1 40429 -0.84992123 -0.67616203 -48.696899 -38.741231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67608725--0.67616203) × R
    7.4779999999941e-05 × 6371000     		dl = 476.423379999624m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67608725--0.67616203) × R
    7.4779999999941e-05 × 6371000     		dr = 476.423379999624m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85001710--0.84992123) × cos(-0.67608725) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.780027070216991 × 6371000     		do = 476.430994757459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85001710--0.84992123) × cos(-0.67616203) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.779980274767317 × 6371000     		du = 476.402412669106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67608725)-sin(-0.67616203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.780027070216991-0.779980274767317)×R²
    abs(-0.84992123--0.85001710)×4.67954496745637e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67954496745637e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67954496745637e-05×40589641000000     		ar = 226976.056376943m²