Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23902 / 27556
↖ ↑ ↗
← N 27.508272°
W 48.702392°		 ← 541.73 m → N 27.508272°
W 48.696899°		 →
↑
541.79 m
↓
↑
541.79 m
↓
N 27.503399°
W 48.702392°		 ← 541.76 m →
293 513 m²		 N 27.503399°
W 48.696899°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23902 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364723205566406 y=0.420478820800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364723205566406 × 216)
    floor (0.364723205566406 × 65536)
    floor (23902.5)     		tx = 23902
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420478820800781 × 216)
    floor (0.420478820800781 × 65536)
    floor (27556.5)     		ty = 27556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23902 / 27556 ti = "16/23902/27556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23902/27556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23902 ÷ 216
    23902 ÷ 65536     		x = 0.364715576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27556 ÷ 216
    27556 ÷ 65536     		y = 0.42047119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364715576171875 × 2 - 1) × π
    -0.27056884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.85001710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42047119140625 × 2 - 1) × π
    0.1590576171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.499694241639465
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85001710} λ = -0.85001710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.499694241639465))-π/2
    2×atan(1.64821723744754)-π/2
    2×1.0254531172433-π/2
    2.0509062344866-1.57079632675     		φ = 0.48010991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85001710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.702392°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48010991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.508272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23902 KachelY 27556 -0.85001710 0.48010991 -48.702392 27.508272
    Oben rechts KachelX + 1 23903 KachelY 27556 -0.84992123 0.48010991 -48.696899 27.508272
    Unten links KachelX 23902 KachelY + 1 27557 -0.85001710 0.48002487 -48.702392 27.503399
    Unten rechts KachelX + 1 23903 KachelY + 1 27557 -0.84992123 0.48002487 -48.696899 27.503399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48010991-0.48002487) × R
    8.50399999999807e-05 × 6371000     		dl = 541.789839999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48010991-0.48002487) × R
    8.50399999999807e-05 × 6371000     		dr = 541.789839999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85001710--0.84992123) × cos(0.48010991) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.886944163272661 × 6371000     		do = 541.734647599813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85001710--0.84992123) × cos(0.48002487) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.886983438056879 × 6371000     		du = 541.758636157682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48010991)-sin(0.48002487))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886944163272661-0.886983438056879)×R²
    abs(-0.84992123--0.85001710)×3.92747842179464e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.92747842179464e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.92747842179464e-05×40589641000000     		ar = 293512.826600973m²