Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 23901 / 40430
↖ ↑ ↗
← S 38.745515°
W 48.707886°		 ← 476.42 m → S 38.745515°
W 48.702392°		 →
↑
476.36 m
↓
↑
476.36 m
↓
S 38.749799°
W 48.707886°		 ← 476.39 m →
226 942 m²		 S 38.749799°
W 48.702392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40430 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364707946777344 y=0.616920471191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364707946777344 × 216)
    floor (0.364707946777344 × 65536)
    floor (23901.5)     		tx = 23901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616920471191406 × 216)
    floor (0.616920471191406 × 65536)
    floor (40430.5)     		ty = 40430
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23901 / 40430 ti = "16/23901/40430"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23901/40430.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23901 ÷ 216
    23901 ÷ 65536     		x = 0.364700317382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40430 ÷ 216
    40430 ÷ 65536     		y = 0.616912841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364700317382812 × 2 - 1) × π
    -0.270599365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.85011298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.616912841796875 × 2 - 1) × π
    -0.23382568359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.734585049777741
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85011298} λ = -0.85011298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.734585049777741))-π/2
    2×atan(0.47970447115889)-π/2
    2×0.447279758226805-π/2
    0.89455951645361-1.57079632675     		φ = -0.67623681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85011298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.707886°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67623681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.745515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23901 KachelY 40430 -0.85011298 -0.67623681 -48.707886 -38.745515
    Oben rechts KachelX + 1 23902 KachelY 40430 -0.85001710 -0.67623681 -48.702392 -38.745515
    Unten links KachelX 23901 KachelY + 1 40431 -0.85011298 -0.67631158 -48.707886 -38.749799
    Unten rechts KachelX + 1 23902 KachelY + 1 40431 -0.85001710 -0.67631158 -48.702392 -38.749799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67623681--0.67631158) × R
    7.47700000000018e-05 × 6371000     		dl = 476.359670000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67623681--0.67631158) × R
    7.47700000000018e-05 × 6371000     		dr = 476.359670000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85011298--0.85001710) × cos(-0.67623681) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.779933474955955 × 6371000     		do = 476.423517478627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85011298--0.85001710) × cos(-0.67631158) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.779886677042374 × 6371000     		du = 476.394930903855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67623681)-sin(-0.67631158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.779933474955955-0.779886677042374)×R²
    abs(-0.85001710--0.85011298)×4.67979135804208e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.67979135804208e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.67979135804208e-05×40589641000000     		ar = 226942.140926497m²