Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23901 / 27557
↖ ↑ ↗
← N 27.503399°
W 48.707886°		 ← 541.82 m → N 27.503399°
W 48.702392°		 →
↑
541.79 m
↓
↑
541.79 m
↓
N 27.498527°
W 48.707886°		 ← 541.84 m →
293 556 m²		 N 27.498527°
W 48.702392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364707946777344 y=0.420494079589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364707946777344 × 216)
    floor (0.364707946777344 × 65536)
    floor (23901.5)     		tx = 23901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420494079589844 × 216)
    floor (0.420494079589844 × 65536)
    floor (27557.5)     		ty = 27557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23901 / 27557 ti = "16/23901/27557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23901/27557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23901 ÷ 216
    23901 ÷ 65536     		x = 0.364700317382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27557 ÷ 216
    27557 ÷ 65536     		y = 0.420486450195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364700317382812 × 2 - 1) × π
    -0.270599365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.85011298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420486450195312 × 2 - 1) × π
    0.159027099609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.499598367840225
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85011298} λ = -0.85011298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.499598367840225))-π/2
    2×atan(1.6480592241738)-π/2
    2×1.02541059894859-π/2
    2.05082119789718-1.57079632675     		φ = 0.48002487
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85011298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.707886°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48002487 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.503399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23901 KachelY 27557 -0.85011298 0.48002487 -48.707886 27.503399
    Oben rechts KachelX + 1 23902 KachelY 27557 -0.85001710 0.48002487 -48.702392 27.503399
    Unten links KachelX 23901 KachelY + 1 27558 -0.85011298 0.47993983 -48.707886 27.498527
    Unten rechts KachelX + 1 23902 KachelY + 1 27558 -0.85001710 0.47993983 -48.702392 27.498527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48002487-0.47993983) × R
    8.50399999999807e-05 × 6371000     		dl = 541.789839999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48002487-0.47993983) × R
    8.50399999999807e-05 × 6371000     		dr = 541.789839999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85011298--0.85001710) × cos(0.48002487) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.886983438056879 × 6371000     		do = 541.815145872805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85011298--0.85001710) × cos(0.47993983) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.887022706426609 × 6371000     		du = 541.839133014572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48002487)-sin(0.47993983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886983438056879-0.887022706426609)×R²
    abs(-0.85001710--0.85011298)×3.92683697297835e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.92683697297835e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.92683697297835e-05×40589641000000     		ar = 293556.439363527m²