Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23900 / 27553
↖ ↑ ↗
← N 27.522887°
W 48.713379°		 ← 541.66 m → N 27.522887°
W 48.707886°		 →
↑
541.66 m
↓
↑
541.66 m
↓
N 27.518015°
W 48.713379°		 ← 541.69 m →
293 405 m²		 N 27.518015°
W 48.707886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364692687988281 y=0.420433044433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364692687988281 × 216)
    floor (0.364692687988281 × 65536)
    floor (23900.5)     		tx = 23900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420433044433594 × 216)
    floor (0.420433044433594 × 65536)
    floor (27553.5)     		ty = 27553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23900 / 27553 ti = "16/23900/27553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23900/27553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23900 ÷ 216
    23900 ÷ 65536     		x = 0.36468505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27553 ÷ 216
    27553 ÷ 65536     		y = 0.420425415039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36468505859375 × 2 - 1) × π
    -0.2706298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.85020885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420425415039062 × 2 - 1) × π
    0.159149169921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.499981863037186
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85020885} λ = -0.85020885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.499981863037186))-π/2
    2×atan(1.64869136817492)-π/2
    2×1.02558066083005-π/2
    2.0511613216601-1.57079632675     		φ = 0.48036499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85020885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.713379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48036499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.522887°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23900 KachelY 27553 -0.85020885 0.48036499 -48.713379 27.522887
    Oben rechts KachelX + 1 23901 KachelY 27553 -0.85011298 0.48036499 -48.707886 27.522887
    Unten links KachelX 23900 KachelY + 1 27554 -0.85020885 0.48027997 -48.713379 27.518015
    Unten rechts KachelX + 1 23901 KachelY + 1 27554 -0.85011298 0.48027997 -48.707886 27.518015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48036499-0.48027997) × R
    8.50199999999912e-05 × 6371000     		dl = 541.662419999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48036499-0.48027997) × R
    8.50199999999912e-05 × 6371000     		dr = 541.662419999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85020885--0.85011298) × cos(0.48036499) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.886826318920034 × 6371000     		do = 541.662669710465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85020885--0.85011298) × cos(0.48027997) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.886865603702446 × 6371000     		du = 541.686664375109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48036499)-sin(0.48027997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886826318920034-0.886865603702446)×R²
    abs(-0.85011298--0.85020885)×3.92847824119968e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.92847824119968e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.92847824119968e-05×40589641000000     		ar = 293404.811179783m²