Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2390 / 1849
↖ ↑ ↗
← N 17.224758°
E 30.058594°		 ← 9 334.67 m → N 17.224758°
E 30.146484°		 →
↑
9 336.76 m
↓
↑
9 336.76 m
↓
N 17.140790°
E 30.058594°		 ← 9 338.90 m →
87 175 409 m²		 N 17.140790°
E 30.146484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5836181640625 y=0.4515380859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5836181640625 × 212)
    floor (0.5836181640625 × 4096)
    floor (2390.5)     		tx = 2390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4515380859375 × 212)
    floor (0.4515380859375 × 4096)
    floor (1849.5)     		ty = 1849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2390 / 1849 ti = "12/2390/1849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2390/1849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2390 ÷ 212
    2390 ÷ 4096     		x = 0.58349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1849 ÷ 212
    1849 ÷ 4096     		y = 0.451416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58349609375 × 2 - 1) × π
    0.1669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.52462143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451416015625 × 2 - 1) × π
    0.09716796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.305262176780518
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52462143} λ = 0.52462143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.305262176780518))-π/2
    2×atan(1.3569807252109)-π/2
    2×0.935712535176038-π/2
    1.87142507035208-1.57079632675     		φ = 0.30062874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52462143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 30.058594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30062874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.224758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2390 KachelY 1849 0.52462143 0.30062874 30.058594 17.224758
    Oben rechts KachelX + 1 2391 KachelY 1849 0.52615541 0.30062874 30.146484 17.224758
    Unten links KachelX 2390 KachelY + 1 1850 0.52462143 0.29916323 30.058594 17.140790
    Unten rechts KachelX + 1 2391 KachelY + 1 1850 0.52615541 0.29916323 30.146484 17.140790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30062874-0.29916323) × R
    0.00146551 × 6371000     		dl = 9336.76421000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30062874-0.29916323) × R
    0.00146551 × 6371000     		dr = 9336.76421000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52462143-0.52615541) × cos(0.30062874) × R
    0.00153397999999993 × 0.955150494934179 × 6371000     		do = 9334.6729688717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52462143-0.52615541) × cos(0.29916323) × R
    0.00153397999999993 × 0.955583437084419 × 6371000     		du = 9338.9041066959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30062874)-sin(0.29916323))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.955150494934179-0.955583437084419)×R²
    abs(0.52615541-0.52462143)×0.000432942150239146×R²
    0.00153397999999993×0.000432942150239146×6371000²
    0.00153397999999993×0.000432942150239146×40589641000000     		ar = 87175408.6582766m²