Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 239 / 53
↖ ↑ ↗
← N 71.965388°
E156.093750°		 ← 48.410 km → N 71.965388°
E157.500000°		 →
↑
48.979 km
↓
↑
48.979 km
↓
N 71.524909°
E156.093750°		 ← 49.552 km →
2 399.05 km²		 N 71.524909°
E157.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.935546875 y=0.208984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.935546875 × 28)
    floor (0.935546875 × 256)
    floor (239.5)     		tx = 239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208984375 × 28)
    floor (0.208984375 × 256)
    floor (53.5)     		ty = 53
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 239 / 53 ti = "8/239/53"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/239/53.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 239 ÷ 28
    239 ÷ 256     		x = 0.93359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53 ÷ 28
    53 ÷ 256     		y = 0.20703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93359375 × 2 - 1) × π
    0.8671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.72434988
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20703125 × 2 - 1) × π
    0.5859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.84077694541016
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.72434988} λ = 2.72434988}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84077694541016))-π/2
    2×atan(6.30143222845502)-π/2
    2×1.41341464480134-π/2
    2.82682928960268-1.57079632675     		φ = 1.25603296
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.72434988} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.093750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25603296 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.965388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 239 KachelY 53 2.72434988 1.25603296 156.093750 71.965388
    Oben rechts KachelX + 1 240 KachelY 53 2.74889357 1.25603296 157.500000 71.965388
    Unten links KachelX 239 KachelY + 1 54 2.72434988 1.24834516 156.093750 71.524909
    Unten rechts KachelX + 1 240 KachelY + 1 54 2.74889357 1.24834516 157.500000 71.524909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25603296-1.24834516) × R
    0.00768780000000002 × 6371000     		dl = 48978.9738000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25603296-1.24834516) × R
    0.00768780000000002 × 6371000     		dr = 48978.9738000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.72434988-2.74889357) × cos(1.25603296) × R
    0.0245436899999998 × 0.30959147256103 × 6371000     		do = 48410.1526300145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.72434988-2.74889357) × cos(1.24834516) × R
    0.0245436899999998 × 0.316892347631675 × 6371000     		du = 49551.7747605558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25603296)-sin(1.24834516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30959147256103-0.316892347631675)×R²
    abs(2.74889357-2.72434988)×0.00730087507064414×R²
    0.0245436899999998×0.00730087507064414×6371000²
    0.0245436899999998×0.00730087507064414×40589641000000     		ar = 2399049153.31241m²