Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23898 / 40427
↖ ↑ ↗
← S 38.732661°
W 48.724365°		 ← 476.46 m → S 38.732661°
W 48.718872°		 →
↑
476.49 m
↓
↑
476.49 m
↓
S 38.736946°
W 48.724365°		 ← 476.43 m →
227 020 m²		 S 38.736946°
W 48.718872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364662170410156 y=0.616874694824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364662170410156 × 216)
    floor (0.364662170410156 × 65536)
    floor (23898.5)     		tx = 23898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616874694824219 × 216)
    floor (0.616874694824219 × 65536)
    floor (40427.5)     		ty = 40427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23898 / 40427 ti = "16/23898/40427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23898/40427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23898 ÷ 216
    23898 ÷ 65536     		x = 0.364654541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40427 ÷ 216
    40427 ÷ 65536     		y = 0.616867065429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364654541015625 × 2 - 1) × π
    -0.27069091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.85040060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.616867065429688 × 2 - 1) × π
    -0.233734130859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.73429742838002
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85040060} λ = -0.85040060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.73429742838002))-π/2
    2×atan(0.479842464273312)-π/2
    2×0.447391931099828-π/2
    0.894783862199656-1.57079632675     		φ = -0.67601246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85040060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.724365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67601246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.732661°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23898 KachelY 40427 -0.85040060 -0.67601246 -48.724365 -38.732661
    Oben rechts KachelX + 1 23899 KachelY 40427 -0.85030473 -0.67601246 -48.718872 -38.732661
    Unten links KachelX 23898 KachelY + 1 40428 -0.85040060 -0.67608725 -48.724365 -38.736946
    Unten rechts KachelX + 1 23899 KachelY + 1 40428 -0.85030473 -0.67608725 -48.718872 -38.736946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67601246--0.67608725) × R
    7.47899999999913e-05 × 6371000     		dl = 476.487089999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67601246--0.67608725) × R
    7.47899999999913e-05 × 6371000     		dr = 476.487089999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85040060--0.85030473) × cos(-0.67601246) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.780073867561591 × 6371000     		do = 476.459578003209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85040060--0.85030473) × cos(-0.67608725) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.780027070216991 × 6371000     		du = 476.430994757459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67601246)-sin(-0.67608725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.780073867561591-0.780027070216991)×R²
    abs(-0.85030473--0.85040060)×4.67973445998915e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67973445998915e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67973445998915e-05×40589641000000     		ar = 227020.028157614m²