Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23898 / 40422
↖ ↑ ↗
← S 38.711233°
W 48.724365°		 ← 476.60 m → S 38.711233°
W 48.718872°		 →
↑
476.55 m
↓
↑
476.55 m
↓
S 38.715519°
W 48.724365°		 ← 476.57 m →
227 118 m²		 S 38.715519°
W 48.718872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364662170410156 y=0.616798400878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364662170410156 × 216)
    floor (0.364662170410156 × 65536)
    floor (23898.5)     		tx = 23898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616798400878906 × 216)
    floor (0.616798400878906 × 65536)
    floor (40422.5)     		ty = 40422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23898 / 40422 ti = "16/23898/40422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23898/40422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23898 ÷ 216
    23898 ÷ 65536     		x = 0.364654541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40422 ÷ 216
    40422 ÷ 65536     		y = 0.616790771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364654541015625 × 2 - 1) × π
    -0.27069091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.85040060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.616790771484375 × 2 - 1) × π
    -0.23358154296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.73381805938382
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85040060} λ = -0.85040060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.73381805938382))-π/2
    2×atan(0.480072541015168)-π/2
    2×0.447578930750691-π/2
    0.895157861501382-1.57079632675     		φ = -0.67563847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85040060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.724365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67563847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.711233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23898 KachelY 40422 -0.85040060 -0.67563847 -48.724365 -38.711233
    Oben rechts KachelX + 1 23899 KachelY 40422 -0.85030473 -0.67563847 -48.718872 -38.711233
    Unten links KachelX 23898 KachelY + 1 40423 -0.85040060 -0.67571327 -48.724365 -38.715519
    Unten rechts KachelX + 1 23899 KachelY + 1 40423 -0.85030473 -0.67571327 -48.718872 -38.715519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67563847--0.67571327) × R
    7.48000000000415e-05 × 6371000     		dl = 476.550800000264m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67563847--0.67571327) × R
    7.48000000000415e-05 × 6371000     		dr = 476.550800000264m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85040060--0.85030473) × cos(-0.67563847) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.780307813844519 × 6371000     		do = 476.602469531658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85040060--0.85030473) × cos(-0.67571327) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.780261032067218 × 6371000     		du = 476.573895794224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67563847)-sin(-0.67571327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.780307813844519-0.780261032067218)×R²
    abs(-0.85030473--0.85040060)×4.6781777300664e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.6781777300664e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.6781777300664e-05×40589641000000     		ar = 227118.479824645m²