Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23897 / 40421
↖ ↑ ↗
← S 38.706946°
W 48.729858°		 ← 476.63 m → S 38.706946°
W 48.724365°		 →
↑
476.68 m
↓
↑
476.68 m
↓
S 38.711233°
W 48.729858°		 ← 476.60 m →
227 193 m²		 S 38.711233°
W 48.724365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364646911621094 y=0.616783142089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364646911621094 × 216)
    floor (0.364646911621094 × 65536)
    floor (23897.5)     		tx = 23897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616783142089844 × 216)
    floor (0.616783142089844 × 65536)
    floor (40421.5)     		ty = 40421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23897 / 40421 ti = "16/23897/40421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23897/40421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23897 ÷ 216
    23897 ÷ 65536     		x = 0.364639282226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40421 ÷ 216
    40421 ÷ 65536     		y = 0.616775512695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364639282226562 × 2 - 1) × π
    -0.270721435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.85049647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.616775512695312 × 2 - 1) × π
    -0.233551025390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.733722185584579
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85049647} λ = -0.85049647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.733722185584579))-π/2
    2×atan(0.480118569600018)-π/2
    2×0.447616337409565-π/2
    0.89523267481913-1.57079632675     		φ = -0.67556365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85049647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.729858°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67556365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.706946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23897 KachelY 40421 -0.85049647 -0.67556365 -48.729858 -38.706946
    Oben rechts KachelX + 1 23898 KachelY 40421 -0.85040060 -0.67556365 -48.724365 -38.706946
    Unten links KachelX 23897 KachelY + 1 40422 -0.85049647 -0.67563847 -48.729858 -38.711233
    Unten rechts KachelX + 1 23898 KachelY + 1 40422 -0.85040060 -0.67563847 -48.724365 -38.711233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67556365--0.67563847) × R
    7.4820000000031e-05 × 6371000     		dl = 476.678220000197m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67556365--0.67563847) × R
    7.4820000000031e-05 × 6371000     		dr = 476.678220000197m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85049647--0.85040060) × cos(-0.67556365) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.780354603762711 × 6371000     		do = 476.63104824145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85049647--0.85040060) × cos(-0.67563847) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.780307813844519 × 6371000     		du = 476.602469531658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67556365)-sin(-0.67563847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.780354603762711-0.780307813844519)×R²
    abs(-0.85040060--0.85049647)×4.67899181926246e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67899181926246e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67899181926246e-05×40589641000000     		ar = 227192.828354403m²