Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23895 / 40429
↖ ↑ ↗
← S 38.741231°
W 48.740845°		 ← 476.40 m → S 38.741231°
W 48.735352°		 →
↑
476.42 m
↓
↑
476.42 m
↓
S 38.745515°
W 48.740845°		 ← 476.37 m →
226 962 m²		 S 38.745515°
W 48.735352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364616394042969 y=0.616905212402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364616394042969 × 216)
    floor (0.364616394042969 × 65536)
    floor (23895.5)     		tx = 23895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616905212402344 × 216)
    floor (0.616905212402344 × 65536)
    floor (40429.5)     		ty = 40429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23895 / 40429 ti = "16/23895/40429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23895/40429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23895 ÷ 216
    23895 ÷ 65536     		x = 0.364608764648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40429 ÷ 216
    40429 ÷ 65536     		y = 0.616897583007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364608764648438 × 2 - 1) × π
    -0.270782470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.85068822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.616897583007812 × 2 - 1) × π
    -0.233795166015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.7344891759785
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85068822} λ = -0.85068822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.7344891759785))-π/2
    2×atan(0.479750464453793)-π/2
    2×0.447317146941181-π/2
    0.894634293882362-1.57079632675     		φ = -0.67616203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85068822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.740845°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67616203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.741231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23895 KachelY 40429 -0.85068822 -0.67616203 -48.740845 -38.741231
    Oben rechts KachelX + 1 23896 KachelY 40429 -0.85059235 -0.67616203 -48.735352 -38.741231
    Unten links KachelX 23895 KachelY + 1 40430 -0.85068822 -0.67623681 -48.740845 -38.745515
    Unten rechts KachelX + 1 23896 KachelY + 1 40430 -0.85059235 -0.67623681 -48.735352 -38.745515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67616203--0.67623681) × R
    7.4780000000052e-05 × 6371000     		dl = 476.423380000331m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67616203--0.67623681) × R
    7.4780000000052e-05 × 6371000     		dr = 476.423380000331m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85068822--0.85059235) × cos(-0.67616203) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.779980274767317 × 6371000     		do = 476.402412669106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85068822--0.85059235) × cos(-0.67623681) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.779933474955955 × 6371000     		du = 476.373827916688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67616203)-sin(-0.67623681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.779980274767317-0.779933474955955)×R²
    abs(-0.85059235--0.85068822)×4.67998113621304e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67998113621304e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67998113621304e-05×40589641000000     		ar = 226962.438567742m²