Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23895 / 27547
↖ ↑ ↗
← N 27.552112°
W 48.740845°		 ← 541.52 m → N 27.552112°
W 48.735352°		 →
↑
541.60 m
↓
↑
541.60 m
↓
N 27.547241°
W 48.740845°		 ← 541.54 m →
293 292 m²		 N 27.547241°
W 48.735352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364616394042969 y=0.420341491699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364616394042969 × 216)
    floor (0.364616394042969 × 65536)
    floor (23895.5)     		tx = 23895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420341491699219 × 216)
    floor (0.420341491699219 × 65536)
    floor (27547.5)     		ty = 27547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23895 / 27547 ti = "16/23895/27547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23895/27547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23895 ÷ 216
    23895 ÷ 65536     		x = 0.364608764648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27547 ÷ 216
    27547 ÷ 65536     		y = 0.420333862304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364608764648438 × 2 - 1) × π
    -0.270782470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.85068822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420333862304688 × 2 - 1) × π
    0.159332275390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.500557105832626
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85068822} λ = -0.85068822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.500557105832626))-π/2
    2×atan(1.64964003883819)-π/2
    2×1.02583569714517-π/2
    2.05167139429035-1.57079632675     		φ = 0.48087507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85068822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.740845°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48087507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.552112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23895 KachelY 27547 -0.85068822 0.48087507 -48.740845 27.552112
    Oben rechts KachelX + 1 23896 KachelY 27547 -0.85059235 0.48087507 -48.735352 27.552112
    Unten links KachelX 23895 KachelY + 1 27548 -0.85068822 0.48079006 -48.740845 27.547241
    Unten rechts KachelX + 1 23896 KachelY + 1 27548 -0.85059235 0.48079006 -48.735352 27.547241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48087507-0.48079006) × R
    8.50099999999965e-05 × 6371000     		dl = 541.598709999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48087507-0.48079006) × R
    8.50099999999965e-05 × 6371000     		dr = 541.598709999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85068822--0.85059235) × cos(0.48087507) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.886590494120662 × 6371000     		do = 541.518630807145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85068822--0.85059235) × cos(0.48079006) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.886629812733014 × 6371000     		du = 541.542646134703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48087507)-sin(0.48079006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886590494120662-0.886629812733014)×R²
    abs(-0.85059235--0.85068822)×3.93186123520683e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.93186123520683e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.93186123520683e-05×40589641000000     		ar = 293292.295398047m²