Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2389 / 1854
↖ ↑ ↗
← N 16.804541°
E 29.970703°		 ← 9 355.65 m → N 16.804541°
E 30.058594°		 →
↑
9 357.72 m
↓
↑
9 357.72 m
↓
N 16.720385°
E 29.970703°		 ← 9 359.79 m →
87 566 953 m²		 N 16.720385°
E 30.058594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2389 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5833740234375 y=0.4527587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5833740234375 × 212)
    floor (0.5833740234375 × 4096)
    floor (2389.5)     		tx = 2389
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4527587890625 × 212)
    floor (0.4527587890625 × 4096)
    floor (1854.5)     		ty = 1854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2389 / 1854 ti = "12/2389/1854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2389/1854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2389 ÷ 212
    2389 ÷ 4096     		x = 0.583251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1854 ÷ 212
    1854 ÷ 4096     		y = 0.45263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583251953125 × 2 - 1) × π
    0.16650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.52308745
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45263671875 × 2 - 1) × π
    0.0947265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.297592272841309
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52308745} λ = 0.52308745}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.297592272841309))-π/2
    2×atan(1.34661262539332)-π/2
    2×0.932045448928139-π/2
    1.86409089785628-1.57079632675     		φ = 0.29329457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52308745} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.970703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29329457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.804541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2389 KachelY 1854 0.52308745 0.29329457 29.970703 16.804541
    Oben rechts KachelX + 1 2390 KachelY 1854 0.52462143 0.29329457 30.058594 16.804541
    Unten links KachelX 2389 KachelY + 1 1855 0.52308745 0.29182577 29.970703 16.720385
    Unten rechts KachelX + 1 2390 KachelY + 1 1855 0.52462143 0.29182577 30.058594 16.720385
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29329457-0.29182577) × R
    0.00146879999999999 × 6371000     		dl = 9357.72479999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29329457-0.29182577) × R
    0.00146879999999999 × 6371000     		dr = 9357.72479999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52308745-0.52462143) × cos(0.29329457) × R
    0.00153398000000005 × 0.95729658711815 × 6371000     		do = 9355.64669898576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52308745-0.52462143) × cos(0.29182577) × R
    0.00153398000000005 × 0.957720195686806 × 6371000     		du = 9359.78661984241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29329457)-sin(0.29182577))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95729658711815-0.957720195686806)×R²
    abs(0.52462143-0.52308745)×0.000423608568656308×R²
    0.00153398000000005×0.000423608568656308×6371000²
    0.00153398000000005×0.000423608568656308×40589641000000     		ar = 87566952.9980574m²