Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2389 / 1827
↖ ↑ ↗
← N 19.062118°
E 29.970703°		 ← 9 237.09 m → N 19.062118°
E 30.058594°		 →
↑
9 239.42 m
↓
↑
9 239.42 m
↓
N 18.979026°
E 29.970703°		 ← 9 241.70 m →
85 366 622 m²		 N 18.979026°
E 30.058594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2389 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5833740234375 y=0.4461669921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5833740234375 × 212)
    floor (0.5833740234375 × 4096)
    floor (2389.5)     		tx = 2389
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4461669921875 × 212)
    floor (0.4461669921875 × 4096)
    floor (1827.5)     		ty = 1827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2389 / 1827 ti = "12/2389/1827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2389/1827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2389 ÷ 212
    2389 ÷ 4096     		x = 0.583251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1827 ÷ 212
    1827 ÷ 4096     		y = 0.446044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.583251953125 × 2 - 1) × π
    0.16650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.52308745
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446044921875 × 2 - 1) × π
    0.10791015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.339009754113037
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52308745} λ = 0.52308745}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.339009754113037))-π/2
    2×atan(1.40355703559994)-π/2
    2×0.951746523128181-π/2
    1.90349304625636-1.57079632675     		φ = 0.33269672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52308745} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.970703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33269672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.062118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2389 KachelY 1827 0.52308745 0.33269672 29.970703 19.062118
    Oben rechts KachelX + 1 2390 KachelY 1827 0.52462143 0.33269672 30.058594 19.062118
    Unten links KachelX 2389 KachelY + 1 1828 0.52308745 0.33124649 29.970703 18.979026
    Unten rechts KachelX + 1 2390 KachelY + 1 1828 0.52462143 0.33124649 30.058594 18.979026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33269672-0.33124649) × R
    0.00145023 × 6371000     		dl = 9239.41532999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33269672-0.33124649) × R
    0.00145023 × 6371000     		dr = 9239.41532999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52308745-0.52462143) × cos(0.33269672) × R
    0.00153398000000005 × 0.945165051322812 × 6371000     		do = 9237.08536246313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52308745-0.52462143) × cos(0.33124649) × R
    0.00153398000000005 × 0.945637692287967 × 6371000     		du = 9241.70447627275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33269672)-sin(0.33124649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945165051322812-0.945637692287967)×R²
    abs(0.52462143-0.52308745)×0.000472640965155202×R²
    0.00153398000000005×0.000472640965155202×6371000²
    0.00153398000000005×0.000472640965155202×40589641000000     		ar = 85366622.0196234m²