Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2389 / 1369
↖ ↑ ↗
← N 81.643734°
W127.507324°		 ← 355.08 m → N 81.643734°
W127.485351°		 →
↑
355.12 m
↓
↑
355.12 m
↓
N 81.640540°
W127.507324°		 ← 355.21 m →
126 119 m²		 N 81.640540°
W127.485351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2389 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145843505859375 y=0.083587646484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145843505859375 × 214)
    floor (0.145843505859375 × 16384)
    floor (2389.5)     		tx = 2389
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.083587646484375 × 214)
    floor (0.083587646484375 × 16384)
    floor (1369.5)     		ty = 1369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2389 / 1369 ti = "14/2389/1369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2389/1369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2389 ÷ 214
    2389 ÷ 16384     		x = 0.14581298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1369 ÷ 214
    1369 ÷ 16384     		y = 0.08355712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14581298828125 × 2 - 1) × π
    -0.7083740234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.22542263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08355712890625 × 2 - 1) × π
    0.8328857421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.61658772886115
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22542263} λ = -2.22542263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61658772886115))-π/2
    2×atan(13.6889334476355)-π/2
    2×1.49787415012097-π/2
    2.99574830024195-1.57079632675     		φ = 1.42495197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22542263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.507324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42495197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.643734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2389 KachelY 1369 -2.22542263 1.42495197 -127.507324 81.643734
    Oben rechts KachelX + 1 2390 KachelY 1369 -2.22503913 1.42495197 -127.485351 81.643734
    Unten links KachelX 2389 KachelY + 1 1370 -2.22542263 1.42489623 -127.507324 81.640540
    Unten rechts KachelX + 1 2390 KachelY + 1 1370 -2.22503913 1.42489623 -127.485351 81.640540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42495197-1.42489623) × R
    5.57399999998598e-05 × 6371000     		dl = 355.119539999107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42495197-1.42489623) × R
    5.57399999998598e-05 × 6371000     		dr = 355.119539999107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22542263--2.22503913) × cos(1.42495197) × R
    0.000383500000000314 × 0.145327874139366 × 6371000     		do = 355.076470335711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22542263--2.22503913) × cos(1.42489623) × R
    0.000383500000000314 × 0.145383022152651 × 6371000     		du = 355.211212290888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42495197)-sin(1.42489623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145327874139366-0.145383022152651)×R²
    abs(-2.22503913--2.22542263)×5.51480132849058e-05×R²
    0.000383500000000314×5.51480132849058e-05×6371000²
    0.000383500000000314×5.51480132849058e-05×40589641000000     		ar = 126118.517592036m²