Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23888 / 27440
↖ ↑ ↗
← N 28.071980°
W 48.779297°		 ← 538.99 m → N 28.071980°
W 48.773804°		 →
↑
538.92 m
↓
↑
538.92 m
↓
N 28.067133°
W 48.779297°		 ← 539.01 m →
290 480 m²		 N 28.067133°
W 48.773804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364509582519531 y=0.418708801269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364509582519531 × 216)
    floor (0.364509582519531 × 65536)
    floor (23888.5)     		tx = 23888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418708801269531 × 216)
    floor (0.418708801269531 × 65536)
    floor (27440.5)     		ty = 27440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23888 / 27440 ti = "16/23888/27440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23888/27440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23888 ÷ 216
    23888 ÷ 65536     		x = 0.364501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27440 ÷ 216
    27440 ÷ 65536     		y = 0.418701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364501953125 × 2 - 1) × π
    -0.27099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.85135934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418701171875 × 2 - 1) × π
    0.16259765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.510815602351318
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85135934} λ = -0.85135934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.510815602351318))-π/2
    2×atan(1.66664996439257)-π/2
    2×1.03037240530153-π/2
    2.06074481060306-1.57079632675     		φ = 0.48994848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85135934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.779297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48994848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.071980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23888 KachelY 27440 -0.85135934 0.48994848 -48.779297 28.071980
    Oben rechts KachelX + 1 23889 KachelY 27440 -0.85126346 0.48994848 -48.773804 28.071980
    Unten links KachelX 23888 KachelY + 1 27441 -0.85135934 0.48986389 -48.779297 28.067133
    Unten rechts KachelX + 1 23889 KachelY + 1 27441 -0.85126346 0.48986389 -48.773804 28.067133
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48994848-0.48986389) × R
    8.45899999999955e-05 × 6371000     		dl = 538.922889999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48994848-0.48986389) × R
    8.45899999999955e-05 × 6371000     		dr = 538.922889999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85135934--0.85126346) × cos(0.48994848) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.882357104084877 × 6371000     		do = 538.989142919032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85135934--0.85126346) × cos(0.48986389) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.882396907326543 × 6371000     		du = 539.013456788113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48994848)-sin(0.48986389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882357104084877-0.882396907326543)×R²
    abs(-0.85126346--0.85135934)×3.98032416667471e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.98032416667471e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.98032416667471e-05×40589641000000     		ar = 290480.138404081m²