Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23885 / 40405
↖ ↑ ↗
← S 38.638327°
W 48.795776°		 ← 477.14 m → S 38.638327°
W 48.790283°		 →
↑
477.06 m
↓
↑
477.06 m
↓
S 38.642618°
W 48.795776°		 ← 477.11 m →
227 617 m²		 S 38.642618°
W 48.790283°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23885 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364463806152344 y=0.616539001464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364463806152344 × 216)
    floor (0.364463806152344 × 65536)
    floor (23885.5)     		tx = 23885
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.616539001464844 × 216)
    floor (0.616539001464844 × 65536)
    floor (40405.5)     		ty = 40405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23885 / 40405 ti = "16/23885/40405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23885/40405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23885 ÷ 216
    23885 ÷ 65536     		x = 0.364456176757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40405 ÷ 216
    40405 ÷ 65536     		y = 0.616531372070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364456176757812 × 2 - 1) × π
    -0.271087646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.85164696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.616531372070312 × 2 - 1) × π
    -0.233062744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.732188204796738
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85164696} λ = -0.85164696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.732188204796738))-π/2
    2×atan(0.480855627433418)-π/2
    2×0.448215148911163-π/2
    0.896430297822326-1.57079632675     		φ = -0.67436603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85164696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.795776°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67436603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.638327°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23885 KachelY 40405 -0.85164696 -0.67436603 -48.795776 -38.638327
    Oben rechts KachelX + 1 23886 KachelY 40405 -0.85155108 -0.67436603 -48.790283 -38.638327
    Unten links KachelX 23885 KachelY + 1 40406 -0.85164696 -0.67444091 -48.795776 -38.642618
    Unten rechts KachelX + 1 23886 KachelY + 1 40406 -0.85155108 -0.67444091 -48.790283 -38.642618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67436603--0.67444091) × R
    7.48799999999994e-05 × 6371000     		dl = 477.060479999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67436603--0.67444091) × R
    7.48799999999994e-05 × 6371000     		dr = 477.060479999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85164696--0.85155108) × cos(-0.67436603) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.781102960367727 × 6371000     		do = 477.137899372695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85164696--0.85155108) × cos(-0.67444091) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.781056202937733 × 6371000     		du = 477.109337527382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67436603)-sin(-0.67444091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.781102960367727-0.781056202937733)×R²
    abs(-0.85155108--0.85164696)×4.67574299942708e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.67574299942708e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.67574299942708e-05×40589641000000     		ar = 227616.822543574m²