Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23885 / 27580
↖ ↑ ↗
← N 27.391278°
W 48.795776°		 ← 542.37 m → N 27.391278°
W 48.790283°		 →
↑
542.36 m
↓
↑
542.36 m
↓
N 27.386401°
W 48.795776°		 ← 542.39 m →
294 166 m²		 N 27.386401°
W 48.790283°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23885 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364463806152344 y=0.420845031738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364463806152344 × 216)
    floor (0.364463806152344 × 65536)
    floor (23885.5)     		tx = 23885
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420845031738281 × 216)
    floor (0.420845031738281 × 65536)
    floor (27580.5)     		ty = 27580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23885 / 27580 ti = "16/23885/27580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23885/27580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23885 ÷ 216
    23885 ÷ 65536     		x = 0.364456176757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27580 ÷ 216
    27580 ÷ 65536     		y = 0.42083740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364456176757812 × 2 - 1) × π
    -0.271087646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.85164696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42083740234375 × 2 - 1) × π
    0.1583251953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.497393270457703
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85164696} λ = -0.85164696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.497393270457703))-π/2
    2×atan(1.64442909695529)-π/2
    2×1.02443215904805-π/2
    2.0488643180961-1.57079632675     		φ = 0.47806799
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85164696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.795776°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47806799 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.391278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23885 KachelY 27580 -0.85164696 0.47806799 -48.795776 27.391278
    Oben rechts KachelX + 1 23886 KachelY 27580 -0.85155108 0.47806799 -48.790283 27.391278
    Unten links KachelX 23885 KachelY + 1 27581 -0.85164696 0.47798286 -48.795776 27.386401
    Unten rechts KachelX + 1 23886 KachelY + 1 27581 -0.85155108 0.47798286 -48.790283 27.386401
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47806799-0.47798286) × R
    8.51299999999888e-05 × 6371000     		dl = 542.363229999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47806799-0.47798286) × R
    8.51299999999888e-05 × 6371000     		dr = 542.363229999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85164696--0.85155108) × cos(0.47806799) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.887885428783309 × 6371000     		do = 542.366128242363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85164696--0.85155108) × cos(0.47798286) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.887924590868055 × 6371000     		du = 542.39005045979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47806799)-sin(0.47798286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887885428783309-0.887924590868055)×R²
    abs(-0.85155108--0.85164696)×3.91620847457474e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.91620847457474e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.91620847457474e-05×40589641000000     		ar = 294165.932599437m²