Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23885 / 27517
↖ ↑ ↗
← N 27.698120°
W 48.795776°		 ← 540.85 m → N 27.698120°
W 48.790283°		 →
↑
540.83 m
↓
↑
540.83 m
↓
N 27.693256°
W 48.795776°		 ← 540.88 m →
292 518 m²		 N 27.693256°
W 48.790283°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23885 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364463806152344 y=0.419883728027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364463806152344 × 216)
    floor (0.364463806152344 × 65536)
    floor (23885.5)     		tx = 23885
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419883728027344 × 216)
    floor (0.419883728027344 × 65536)
    floor (27517.5)     		ty = 27517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23885 / 27517 ti = "16/23885/27517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23885/27517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23885 ÷ 216
    23885 ÷ 65536     		x = 0.364456176757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27517 ÷ 216
    27517 ÷ 65536     		y = 0.419876098632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364456176757812 × 2 - 1) × π
    -0.271087646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.85164696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419876098632812 × 2 - 1) × π
    0.160247802734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.50343331980983
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85164696} λ = -0.85164696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.50343331980983))-π/2
    2×atan(1.65439158653356)-π/2
    2×1.02710985998608-π/2
    2.05421971997215-1.57079632675     		φ = 0.48342339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85164696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.795776°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48342339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.698120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23885 KachelY 27517 -0.85164696 0.48342339 -48.795776 27.698120
    Oben rechts KachelX + 1 23886 KachelY 27517 -0.85155108 0.48342339 -48.790283 27.698120
    Unten links KachelX 23885 KachelY + 1 27518 -0.85164696 0.48333850 -48.795776 27.693256
    Unten rechts KachelX + 1 23886 KachelY + 1 27518 -0.85155108 0.48333850 -48.790283 27.693256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48342339-0.48333850) × R
    8.48900000000041e-05 × 6371000     		dl = 540.834190000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48342339-0.48333850) × R
    8.48900000000041e-05 × 6371000     		dr = 540.834190000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85164696--0.85155108) × cos(0.48342339) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.885408878047978 × 6371000     		do = 540.853323560392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85164696--0.85155108) × cos(0.48333850) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.885448332832659 × 6371000     		du = 540.877424574008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48342339)-sin(0.48333850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885408878047978-0.885448332832659)×R²
    abs(-0.85155108--0.85164696)×3.94547846813698e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.94547846813698e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.94547846813698e-05×40589641000000     		ar = 292518.486658379m²