Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 23884 / 27565
↖ ↑ ↗
← N 27.464413°
W 48.801269°		 ← 541.95 m → N 27.464413°
W 48.795776°		 →
↑
541.98 m
↓
↑
541.98 m
↓
N 27.459539°
W 48.801269°		 ← 541.97 m →
293 733 m²		 N 27.459539°
W 48.795776°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364448547363281 y=0.420616149902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364448547363281 × 216)
    floor (0.364448547363281 × 65536)
    floor (23884.5)     		tx = 23884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420616149902344 × 216)
    floor (0.420616149902344 × 65536)
    floor (27565.5)     		ty = 27565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23884 / 27565 ti = "16/23884/27565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23884/27565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23884 ÷ 216
    23884 ÷ 65536     		x = 0.36444091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27565 ÷ 216
    27565 ÷ 65536     		y = 0.420608520507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36444091796875 × 2 - 1) × π
    -0.2711181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.85174283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420608520507812 × 2 - 1) × π
    0.158782958984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.498831377446304
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85174283} λ = -0.85174283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.498831377446304))-π/2
    2×atan(1.64679566321175)-π/2
    2×1.02507038483888-π/2
    2.05014076967776-1.57079632675     		φ = 0.47934444
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85174283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.801269°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47934444 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.464413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23884 KachelY 27565 -0.85174283 0.47934444 -48.801269 27.464413
    Oben rechts KachelX + 1 23885 KachelY 27565 -0.85164696 0.47934444 -48.795776 27.464413
    Unten links KachelX 23884 KachelY + 1 27566 -0.85174283 0.47925937 -48.801269 27.459539
    Unten rechts KachelX + 1 23885 KachelY + 1 27566 -0.85164696 0.47925937 -48.795776 27.459539
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47934444-0.47925937) × R
    8.50699999999649e-05 × 6371000     		dl = 541.980969999776m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47934444-0.47925937) × R
    8.50699999999649e-05 × 6371000     		dr = 541.980969999776m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85174283--0.85164696) × cos(0.47934444) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.887297456116939 × 6371000     		do = 541.950434548326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85174283--0.85164696) × cos(0.47925937) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.887336686985907 × 6371000     		du = 541.974396283298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47934444)-sin(0.47925937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887297456116939-0.887336686985907)×R²
    abs(-0.85164696--0.85174283)×3.92308689678433e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.92308689678433e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.92308689678433e-05×40589641000000     		ar = 293733.315787808m²