Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 23880 / 27697
↖ ↑ ↗
← N 26.819168°
W 48.823242°		 ← 545.15 m → N 26.819168°
W 48.817749°		 →
↑
545.10 m
↓
↑
545.10 m
↓
N 26.814266°
W 48.823242°		 ← 545.17 m →
297 167 m²		 N 26.814266°
W 48.817749°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364387512207031 y=0.422630310058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364387512207031 × 216)
    floor (0.364387512207031 × 65536)
    floor (23880.5)     		tx = 23880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422630310058594 × 216)
    floor (0.422630310058594 × 65536)
    floor (27697.5)     		ty = 27697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23880 / 27697 ti = "16/23880/27697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23880/27697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23880 ÷ 216
    23880 ÷ 65536     		x = 0.3643798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27697 ÷ 216
    27697 ÷ 65536     		y = 0.422622680664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3643798828125 × 2 - 1) × π
    -0.271240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.85212633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422622680664062 × 2 - 1) × π
    0.154754638671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.48617603594661
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85212633} λ = -0.85212633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.48617603594661))-π/2
    2×atan(1.62608622064483)-π/2
    2×1.01943956070672-π/2
    2.03887912141345-1.57079632675     		φ = 0.46808279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85212633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.823242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46808279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.819168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23880 KachelY 27697 -0.85212633 0.46808279 -48.823242 26.819168
    Oben rechts KachelX + 1 23881 KachelY 27697 -0.85203045 0.46808279 -48.817749 26.819168
    Unten links KachelX 23880 KachelY + 1 27698 -0.85212633 0.46799723 -48.823242 26.814266
    Unten rechts KachelX + 1 23881 KachelY + 1 27698 -0.85203045 0.46799723 -48.817749 26.814266
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46808279-0.46799723) × R
    8.556000000004e-05 × 6371000     		dl = 545.102760000255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46808279-0.46799723) × R
    8.556000000004e-05 × 6371000     		dr = 545.102760000255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85212633--0.85203045) × cos(0.46808279) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.892434927212916 × 6371000     		do = 545.145196091976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85212633--0.85203045) × cos(0.46799723) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.892473526576049 × 6371000     		du = 545.168774570073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46808279)-sin(0.46799723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892434927212916-0.892473526576049)×R²
    abs(-0.85203045--0.85212633)×3.85993631334403e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.85993631334403e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.85993631334403e-05×40589641000000     		ar = 297166.577518536m²