Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23880 / 27577
↖ ↑ ↗
← N 27.405909°
W 48.823242°		 ← 542.29 m → N 27.405909°
W 48.817749°		 →
↑
542.30 m
↓
↑
542.30 m
↓
N 27.401032°
W 48.823242°		 ← 542.32 m →
294 092 m²		 N 27.401032°
W 48.817749°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364387512207031 y=0.420799255371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364387512207031 × 216)
    floor (0.364387512207031 × 65536)
    floor (23880.5)     		tx = 23880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420799255371094 × 216)
    floor (0.420799255371094 × 65536)
    floor (27577.5)     		ty = 27577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23880 / 27577 ti = "16/23880/27577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23880/27577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23880 ÷ 216
    23880 ÷ 65536     		x = 0.3643798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27577 ÷ 216
    27577 ÷ 65536     		y = 0.420791625976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3643798828125 × 2 - 1) × π
    -0.271240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.85212633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420791625976562 × 2 - 1) × π
    0.158416748046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.497680891855423
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85212633} λ = -0.85212633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.497680891855423))-π/2
    2×atan(1.6449021379757)-π/2
    2×1.02455983802289-π/2
    2.04911967604578-1.57079632675     		φ = 0.47832335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85212633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.823242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47832335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.405909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23880 KachelY 27577 -0.85212633 0.47832335 -48.823242 27.405909
    Oben rechts KachelX + 1 23881 KachelY 27577 -0.85203045 0.47832335 -48.817749 27.405909
    Unten links KachelX 23880 KachelY + 1 27578 -0.85212633 0.47823823 -48.823242 27.401032
    Unten rechts KachelX + 1 23881 KachelY + 1 27578 -0.85203045 0.47823823 -48.817749 27.401032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47832335-0.47823823) × R
    8.51199999999941e-05 × 6371000     		dl = 542.299519999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47832335-0.47823823) × R
    8.51199999999941e-05 × 6371000     		dr = 542.299519999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85212633--0.85203045) × cos(0.47832335) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.887767917731291 × 6371000     		do = 542.29434644295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85212633--0.85203045) × cos(0.47823823) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.887807094514588 × 6371000     		du = 542.318277639008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47832335)-sin(0.47823823))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887767917731291-0.887807094514588)×R²
    abs(-0.85203045--0.85212633)×3.91767832975676e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.91767832975676e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.91767832975676e-05×40589641000000     		ar = 294092.452890491m²