Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2388 / 1855
↖ ↑ ↗
← N 16.720385°
E 29.882813°		 ← 9 359.79 m → N 16.720385°
E 29.970703°		 →
↑
9 361.87 m
↓
↑
9 361.87 m
↓
N 16.636192°
E 29.882813°		 ← 9 363.91 m →
87 644 376 m²		 N 16.636192°
E 29.970703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5831298828125 y=0.4530029296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5831298828125 × 212)
    floor (0.5831298828125 × 4096)
    floor (2388.5)     		tx = 2388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4530029296875 × 212)
    floor (0.4530029296875 × 4096)
    floor (1855.5)     		ty = 1855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2388 / 1855 ti = "12/2388/1855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2388/1855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2388 ÷ 212
    2388 ÷ 4096     		x = 0.5830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1855 ÷ 212
    1855 ÷ 4096     		y = 0.452880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5830078125 × 2 - 1) × π
    0.166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.52155347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452880859375 × 2 - 1) × π
    0.09423828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.296058292053467
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52155347} λ = 0.52155347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.296058292053467))-π/2
    2×atan(1.34454853104259)-π/2
    2×0.931311049070047-π/2
    1.86262209814009-1.57079632675     		φ = 0.29182577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52155347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.882813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29182577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.720385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2388 KachelY 1855 0.52155347 0.29182577 29.882813 16.720385
    Oben rechts KachelX + 1 2389 KachelY 1855 0.52308745 0.29182577 29.970703 16.720385
    Unten links KachelX 2388 KachelY + 1 1856 0.52155347 0.29035632 29.882813 16.636192
    Unten rechts KachelX + 1 2389 KachelY + 1 1856 0.52308745 0.29035632 29.970703 16.636192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29182577-0.29035632) × R
    0.00146944999999998 × 6371000     		dl = 9361.86594999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29182577-0.29035632) × R
    0.00146944999999998 × 6371000     		dr = 9361.86594999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52155347-0.52308745) × cos(0.29182577) × R
    0.00153398000000005 × 0.957720195686806 × 6371000     		do = 9359.78661984241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52155347-0.52308745) × cos(0.29035632) × R
    0.00153398000000005 × 0.958141924186794 × 6371000     		du = 9363.9081668132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29182577)-sin(0.29035632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957720195686806-0.958141924186794)×R²
    abs(0.52308745-0.52155347)×0.00042172849998845×R²
    0.00153398000000005×0.00042172849998845×6371000²
    0.00153398000000005×0.00042172849998845×40589641000000     		ar = 87644376.1114446m²