Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2388 / 1847
↖ ↑ ↗
← N 17.392579°
E 29.882813°		 ← 9 326.16 m → N 17.392579°
E 29.970703°		 →
↑
9 328.29 m
↓
↑
9 328.29 m
↓
N 17.308688°
E 29.882813°		 ← 9 330.42 m →
87 017 017 m²		 N 17.308688°
E 29.970703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5831298828125 y=0.4510498046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5831298828125 × 212)
    floor (0.5831298828125 × 4096)
    floor (2388.5)     		tx = 2388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4510498046875 × 212)
    floor (0.4510498046875 × 4096)
    floor (1847.5)     		ty = 1847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2388 / 1847 ti = "12/2388/1847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2388/1847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2388 ÷ 212
    2388 ÷ 4096     		x = 0.5830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1847 ÷ 212
    1847 ÷ 4096     		y = 0.450927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5830078125 × 2 - 1) × π
    0.166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.52155347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450927734375 × 2 - 1) × π
    0.09814453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.308330138356201
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.52155347} λ = 0.52155347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.308330138356201))-π/2
    2×atan(1.36115028268539)-π/2
    2×0.93717705024028-π/2
    1.87435410048056-1.57079632675     		φ = 0.30355777
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.52155347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.882813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30355777 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.392579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2388 KachelY 1847 0.52155347 0.30355777 29.882813 17.392579
    Oben rechts KachelX + 1 2389 KachelY 1847 0.52308745 0.30355777 29.970703 17.392579
    Unten links KachelX 2388 KachelY + 1 1848 0.52155347 0.30209359 29.882813 17.308688
    Unten rechts KachelX + 1 2389 KachelY + 1 1848 0.52308745 0.30209359 29.970703 17.308688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30355777-0.30209359) × R
    0.00146417999999998 × 6371000     		dl = 9328.29077999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30355777-0.30209359) × R
    0.00146417999999998 × 6371000     		dr = 9328.29077999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.52155347-0.52308745) × cos(0.30355777) × R
    0.00153398000000005 × 0.954279052229955 × 6371000     		do = 9326.15637101875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.52155347-0.52308745) × cos(0.30209359) × R
    0.00153398000000005 × 0.954715697752077 × 6371000     		du = 9330.42370184667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30355777)-sin(0.30209359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954279052229955-0.954715697752077)×R²
    abs(0.52308745-0.52155347)×0.000436645522122192×R²
    0.00153398000000005×0.000436645522122192×6371000²
    0.00153398000000005×0.000436645522122192×40589641000000     		ar = 87017017.4857801m²